Defina ideal, ideal principal e ideal maximal.
Passo 1
O enunciado quer as definições de ideal, ideal principal e ideal maximal dentro do contexto de teoria de anéis. Vamos usar propriedades básicas de subconjuntos de um anel para formular cada definição.
Passo 2
Um subconjunto
de um anel
é um ideal se satisfaz duas propriedades: (i) para quaisquer
temos
(fechamento sob subtração) e (ii) para todo
e
vale
(absorção pela multiplicação).
Passo 3
Um ideal
de
é chamado principal se existe um elemento
tal que
é exatamente o conjunto de todos os múltiplos de
. Em notação,
e temos
e temos
Passo 4
Um ideal
de
é maximal se
e não existe nenhum outro ideal
tal que
(ou seja,
é maximal entre os ideais próprios de
).
Resposta
Ideal:
Um subconjunto de um anel
é um ideal se satisfaz:
Um subconjunto
(i)
(ii)
.
Ideal principal:
Um ideal de
é principal se existe
tal que
Um ideal
Ideal maximal:
Um ideal é maximal se
e não existe ideal
com
Um ideal