Defina ideal, ideal principal e ideal maximal.

Passo 1

O enunciado quer as definições de ideal, ideal principal e ideal maximal dentro do contexto de teoria de anéis. Vamos usar propriedades básicas de subconjuntos de um anel para formular cada definição.

Passo 2

Um subconjunto I de um anel R é um ideal se satisfaz duas propriedades: (i) para quaisquer x,yin I temos x - yin I (fechamento sob subtração) e (ii) para todo rin R e vale (absorção pela multiplicação).

Passo 3

Um ideal I de R é chamado principal se existe um elemento I tal que a é exatamente o conjunto de todos os múltiplos de . Em notação,
e temos

Passo 4

Um ideal M de R é maximal se Mne R e não existe nenhum outro ideal J tal que M (ou seja, R é maximal entre os ideais próprios de ).

Resposta

Ideal:
Um subconjunto I de um anel R é um ideal se satisfaz:
(i) x,yin Iimplies x - yin I
(ii) rin R,;xin Iimplies rcdot x,;xcdot rin I.
Ideal principal:
Um ideal I de R é principal se existe ain R tal que
I = (a) = rcdot amid rin R=acdot rmid rin R
Ideal maximal:
Um ideal Msubseteq R é maximal se Mne R e não existe ideal J com
M subsetneq J subsetneq R

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