Calcule as seguintes transformadas:
L[sen t-t cos t]

Passo 1

O exercício pede para calcular a transformada de Laplace de sin t - tcos t. Vamos usar a linearidade da transformada e a propriedade que diz que L[t f(t)] = -ddsF(s), onde F(s) = L[f(t)].

Passo 2

Primeiro, lembramos que a transformada de Laplace de sin t é
L[sin t] = 1s^2 + 1

Passo 3

Em seguida, aplicamos a propriedade de derivação para tcos t. Sabendo que
L[cos t] = ss^2 + 1, temos
L[tcos t] = -ddsl(ss^2 + 1r)

Passo 4

Calculando essa derivada:
ddsl(ss^2 + 1r) = (s^2+1) - scdot 2s(s^2+1)^2 = 1 - s^2(s^2+1)^2, logo
L[tcos t] = -1 - s^2(s^2+1)^2 = s^2 - 1(s^2+1)^2

Passo 5

Agora, pela linearidade,
L[sin t - tcos t] = L[sin t] - L[tcos t] = 1s^2+1 - s^2 - 1(s^2+1)^2

Passo 6

Bastou colocar no mesmo denominador e simplificar:
1s^2+1 = s^2+1(s^2+1)^2, então
L[sin t - tcos t] = s^2+1(s^2+1)^2 - s^2 - 1(s^2+1)^2 = 2(s^2+1)^2

Resposta

2(s^2+1)^2

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