Determine a série de Taylor das funções dadas em torno do ponto x0. Determine, também, o raio de convergência da série:
(a) f(x)=e^x, x0=0. Res: f(x)=sumn=0^infty x^nn! e rho=infty.

Passo 1

A função é f(x)=e^x e queremos sua série de Taylor centrada em x₀=0. O conteúdo é expansão em série de Taylor e vamos precisar das derivadas de todas as ordens de e^x avaliadas em 0.

Passo 2

Sabemos que para qualquer n inteiro não‐negativo vale f⁽ⁿ⁾(x)=e^x. Portanto, em x₀=0 temos f⁽ⁿ⁾(0)=e^0=1.

Passo 3

A fórmula geral da série de Taylor em torno de x₀ é:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x₀)n!(x-x₀)^n
Substituindo f⁽ⁿ⁾(0)=1 e x₀=0, obtemos:
e^x=sumn=0^inftyx^nn!

Passo 4

Para determinar o raio de convergência, aplicamos o Teste da Razão em a_n=x^n/n!:
limntoinfty|an+1an|=limntoinfty|x|^n+1/(n+1)!|x|^n/n!=limntoinfty|x|n+1=0
Como 0<1 para todo x, a série converge para todo x real.

Passo 5

Concluímos que a série de Taylor de e^x em torno de 0 é sumn=0^inftyx^n/n! e o raio de convergência é infinito.

Resposta

e^x=sumn=0^inftyx^nn!,rho=infty

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