Determine a série de Taylor das funções dadas em torno do ponto . Determine, também, o raio de convergência da série:
(a) . Res: e .
Passo 1
A função é f(x)=e^x e queremos sua série de Taylor centrada em x₀=0. O conteúdo é expansão em série de Taylor e vamos precisar das derivadas de todas as ordens de e^x avaliadas em 0.
Passo 2
Sabemos que para qualquer n inteiro não‐negativo vale f⁽ⁿ⁾(x)=e^x. Portanto, em x₀=0 temos f⁽ⁿ⁾(0)=e^0=1.
Passo 3
A fórmula geral da série de Taylor em torno de x₀ é:
Substituindo f⁽ⁿ⁾(0)=1 e x₀=0, obtemos:
Passo 4
Para determinar o raio de convergência, aplicamos o Teste da Razão em a_n=x^n/n!:
Como 0<1 para todo x, a série converge para todo x real.
Passo 5
Concluímos que a série de Taylor de e^x em torno de 0 é sumn=0^inftyx^n/n! e o raio de convergência é infinito.