Calcule as seguintes transformadas:
L[t e^-3 t cos 4 t]

Passo 1

A questão pede a transformada de Laplace de f(t)=t e^-3tcos4t. O conteúdo envolvido é a transformada de Laplace de funções do tipo t,g(t) e vamos precisar da propriedade Lt,g(t)=-ddsl[Lg(t)r] e da transformada padrão de e^-3tcos4t.

Passo 2

Primeiro, lembramos que
Le^-3tcos4t= s+3(s+3)^2+4^2= s+3(s+3)^2+16
Isso vem da fórmula Le^atcos(omega t)=(s-a)/[(s-a)^2+omega^2] com a=-3 e omega=4.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade da derivada para incluir o fator t:
Lt e^-3tcos4t=-ddsl[s+3(s+3)^2+16r]
Calculando a derivada, definimos u=s+3 e
F(u)=uu^2+16,
então
F'(u)=(u^2+16)-2u^2(u^2+16)^2=16-u^2(u^2+16)^2
Como du/ds=1, temos
-ddsF(u)=u^2-16(u^2+16)^2

Passo 4

Por fim, voltamos a u=s+3 e simplificamos:
u^2-16=(s+3)^2-16=s^2+6s+9-16=s^2+6s-7,
u^2+16=(s+3)^2+16=s^2+6s+25,
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Lt e^-3tcos4t= s^2+6s-7l(s^2+6s+25r)^2

Passo 5

Pronto! A expressão acima é a transformada buscada, já em forma simplificada.

Resposta

s^2+6s-7(s^2+6s+25)^2

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