Calcule as seguintes transformadas:
L[t e^3 t sen 4 t]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de uma função que envolve um termo t, um expoente e^3t e um sin4t. O conteúdo aqui é transformada de Laplace, e vamos usar duas propriedades principais: (1) a propriedade de deslocamento para e^atf(t), e (2) a propriedade que diz que L[t,f(t)] = -ddsl(F(s)r), onde F(s)=L[f(t)].

Passo 2

Primeiro, vamos achar Ll[e^3t,sin4tr]. Sabemos que
L[sin4t]=4s^2+4^2=4s^2+16.
Pela propriedade de deslocamento em s, trocando s por s-3, obtemos:
L[e^3t,sin4t]=4(s-3)^2+16.

Passo 3

Agora usamos a propriedade de derivada em s: como temos um fator t multiplicando,
Ll[t,e^3t,sin4tr] = -dds(4(s-3)^2+16).
Basta aplicar a regra da cadeia ao derivar: seja g(s)=(s-3)^2+16, então
-dds(4g(s)) = -4,l(-1r),g'(s)l(g(s)r)^2 = 4cdot2(s-3)l((s-3)^2+16r)^2
Simplificando o coeficiente, ficamos com:
Ll[t,e^3t,sin4tr] = 8,(s-3)l((s-3)^2+16r)^2

Resposta

8,(s-3)l((s-3)^2+16r)^2

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