Exercício 3. Determine as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o resultado do Teorema de Schwarz.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) = y \tan 2x $ e depois verificar o Teorema de Schwarz. Isso tudo está na matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente em derivadas parciais. Para resolver, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem e depois checar se as derivadas mistas são iguais, conforme o Teorema de Schwarz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = y \tan 2x $. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, denotada por $ f_x $.
Sabemos que:
Como $ y $ é considerado constante em relação a $ x $, podemos usar a regra da cadeia para derivar $ \tan 2x $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, denotada por $ f_y $.
Como $ \tan 2x $ é constante em relação a $ y $, a derivada é simples:
Passo 5
Com as derivadas de primeira ordem encontradas, vamos agora calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, a segunda derivada parcial em relação a $ x $, denotada por $ f_{xx} $:
Novamente, $ y $ é constante, então derivamos $ \sec^2 2x $ usando a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, a segunda derivada parcial mista, primeiro derivando $ f_x $ em relação a $ y $, denotada por $ f_{xy} $:
Passo 7
Vamos também calcular a segunda derivada parcial mista, derivando $ f_y $ em relação a $ x $, denotada por $ f_{yx} $:
Passo 8
Por fim, a segunda derivada parcial em relação a $ y $, denotada por $ f_{yy} $:
Porque $ \tan 2x $ não depende de $ y $.
Passo 9
Agora, vamos verificar o Teorema de Schwarz, que afirma que se as derivadas parciais mistas são contínuas, então $ f_{xy} = f_{yx} $.
Aqui, temos:
Como $ f_{xy} = f_{yx} $, o Teorema de Schwarz está validado para esta função.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) = y \tan 2x $ são:
E o Teorema de Schwarz é verificado, já que $ f_{xy} = f_{yx} $.