Exercício 2. Calcule as derivadas de primeira e segunda ordem das funções abaixo utilizando a definição.
f(x, y)=raiz3 x-y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas de primeira e segunda ordem da função $ f(x, y) = \sqrt{3x - y} $ usando a definição de derivada. Isso envolve entender derivadas parciais, já que a função tem duas variáveis, $ x $ e $ y $. Para isso, vamos precisar usar as definições de derivadas parciais de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a $ x $, que chamamos de $ f_x $. A derivada parcial em relação a $ x $ mede como a função muda quando apenas $ x $ varia, mantendo $ y $ constante.
A definição da derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
x
Vamos aplicar isso à nossa função:
fx
Então,
x
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada:
x
Simplificando o numerador:
y
Então,
f
Quando $ h $ tende a 0:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a $ y $, que chamamos de $ f_y $. Isso mostra como a função muda quando apenas $ y $ varia, mantendo $ x $ constante.
A definição da derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
y
Aplicando à nossa função:
fy
Então,
y
Multiplicando numerador e denominador pela conjugada:
x
Simplificando o numerador:
f
Então,
y
Quando $ k $ tende a 0:
fy(x, y) = limk to 0 f(x, y+k) - f(x, y)k

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, $ f_{xx} $, que é a derivada de $ f_x $ em relação a $ x $.
fxx
Podemos reescrever isso como:
fx

Passo 5

Vamos calcular $ f_{xy} $, que é a derivada de $ f_x $ em relação a $ y $.
fxy

Passo 6

Agora, $ f_{yy} $, que é a derivada de $ f_y $ em relação a $ y $.
fyy

Resposta

As derivadas de primeira e segunda ordem da função $ f(x, y) = \sqrt{3x - y} $ são:
f(x, y) = raiz3x - y
fx(x, y) = 32raiz3x - y
fy(x, y) = -12raiz3x - y
fxx(x, y) = -94(3x - y)^3/2
fxy(x, y) = -34(3x - y)^3/2

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