Exercício 2. Calcule as derivadas de primeira e segunda ordem das funções abaixo utilizando a definição.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas de primeira e segunda ordem da função $ f(x, y) = \sqrt{3x - y} $ usando a definição de derivada. Isso envolve entender derivadas parciais, já que a função tem duas variáveis, $ x $ e $ y $. Para isso, vamos precisar usar as definições de derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a $ x $, que chamamos de $ f_x $. A derivada parcial em relação a $ x $ mede como a função muda quando apenas $ x $ varia, mantendo $ y $ constante.
A definição da derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
Vamos aplicar isso à nossa função:
Então,
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada:
Simplificando o numerador:
Então,
Quando $ h $ tende a 0:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a $ y $, que chamamos de $ f_y $. Isso mostra como a função muda quando apenas $ y $ varia, mantendo $ x $ constante.
A definição da derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Aplicando à nossa função:
Então,
Multiplicando numerador e denominador pela conjugada:
Simplificando o numerador:
Então,
Quando $ k $ tende a 0:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, $ f_{xx} $, que é a derivada de $ f_x $ em relação a $ x $.
Podemos reescrever isso como:
Passo 5
Vamos calcular $ f_{xy} $, que é a derivada de $ f_x $ em relação a $ y $.
Passo 6
Agora, $ f_{yy} $, que é a derivada de $ f_y $ em relação a $ y $.
Resposta
As derivadas de primeira e segunda ordem da função $ f(x, y) = \sqrt{3x - y} $ são: