Calcule as seguintes transformadas:
(xiii) L[sen t-t cos t]

Passo 1

O exercício pede a transformada de Laplace de sin t - tcos t. Isso é conteúdo de transformada de Laplace e vamos precisar da propriedade da linearidade e da propriedade que relaciona L[t f(t)] com a derivada de L[f(t)].

Passo 2

Pela linearidade de Laplace, temos
L[sin t - tcos t] = L[sin t] - L[tcos t]

Passo 3

Usando a transformada básica de sin t, que é
L[sin t] = 1s^2 + 1,

Passo 4

Para L[tcos t], aplicamos a propriedade
L[t f(t)] = -ddsl(L[f(t)]r)
Aqui f(t)=cos t e
L[cos t] = ss^2 + 1
Então
L[tcos t] = -ddsl(ss^2 + 1r) = -(1)(s^2+1) - s(2s)(s^2+1)^2 = -1 - s^2(s^2+1)^2 = s^2 - 1(s^2+1)^2

Passo 5

Agora juntamos tudo e simplificamos:
L[sin t - tcos t]= 1s^2+1 - s^2 - 1(s^2+1)^2 = (s^2+1) - (s^2-1)(s^2+1)^2 = 2(s^2+1)^2

Resposta

L[sin t - tcos t] = 2(s^2+1)^2

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