Calcule as seguintes transformadas:
(vi)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa transformada de Laplace juntos! A questão pede para calcular $ L\left[e^{-2 t} - 4 t^{3}\right] $. A matéria envolvida aqui é a transformada de Laplace, que é uma ferramenta útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos usar algumas propriedades básicas da transformada de Laplace, como a linearidade e as transformadas de funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é linear. Isso significa que a transformada de uma soma de funções é igual à soma das transformadas dessas funções, e multiplicar a função por uma constante equivale a multiplicar sua transformada pela mesma constante. Ou seja:
No nosso caso, $ a = 1 $, $ f(t) = e^{-2 t} $, $ b = -4 $ e $ g(t) = t^{3} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformada de cada termo separadamente. Primeiro, a transformada de $ e^{-2 t} $. A fórmula geral para a transformada de uma função exponencial $ e^{a t} $ é:
Aqui, $ a = -2 $, então:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a transformada de $ t^{3} $. A fórmula para a transformada de $ t^{n} $ é:
Aqui, $ n = 3 $, então:
Passo 5
Agora, aplicamos a constante que multiplica $ t^{3} $, que é -4:
Resposta
Então, juntando tudo, a transformada de Laplace de $ e^{-2 t} - 4 t^{3} $ é: