Calcule as seguintes transformadas:
(vi) L[e^-2 t-4 t^3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa transformada de Laplace juntos! A questão pede para calcular $ L\left[e^{-2 t} - 4 t^{3}\right] $. A matéria envolvida aqui é a transformada de Laplace, que é uma ferramenta útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos usar algumas propriedades básicas da transformada de Laplace, como a linearidade e as transformadas de funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é linear. Isso significa que a transformada de uma soma de funções é igual à soma das transformadas dessas funções, e multiplicar a função por uma constante equivale a multiplicar sua transformada pela mesma constante. Ou seja:
L[a f(t) + b g(t)] = a L[f(t)] + b L[g(t)]
No nosso caso, $ a = 1 $, $ f(t) = e^{-2 t} $, $ b = -4 $ e $ g(t) = t^{3} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de cada termo separadamente. Primeiro, a transformada de $ e^{-2 t} $. A fórmula geral para a transformada de uma função exponencial $ e^{a t} $ é:
e^-2 t
Aqui, $ a = -2 $, então:
e^a t

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a transformada de $ t^{3} $. A fórmula para a transformada de $ t^{n} $ é:
t^3
Aqui, $ n = 3 $, então:
t^n

Passo 5

Agora, aplicamos a constante que multiplica $ t^{3} $, que é -4:
t^3

Resposta

Então, juntando tudo, a transformada de Laplace de $ e^{-2 t} - 4 t^{3} $ é:
e^-2 t - 4 t^3

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