Denotemos por f(t)=llbracket t rrbracket a função maior inteiro. Mostre que:
L[llbracket t rrbracket]=1s(e^s-1) e L[llbracket t rrbracket-t]=s-1-e^ss^2(e^s-1)

Passo 1

Resumindo, queremos calcular as transformadas de Laplace de f(t)=⌊t⌋ e de f(t)–t. Vamos usar a definição
L[f](s)=integral0^inftyf(t)e^-stdt
e propriedades de séries.

Passo 2

Para L[⌊t⌋], note que em cada intervalo [n,n+1) temos ⌊t⌋=n. Logo
L[⌊t⌋]=sumn=0^inftyintegraln^n+1n,e^-stdt =1ssumn=0^inftynl(e^-sn-e^-s(n+1)r)

Passo 3

Fatorando (1−e^{−s}) e usando a série sumn=0^inftyn x^n=x(1−x)^2 com x=e^{−s}, obtemos
sumn=0^inftyn(e^-sn-e^-s(n+1))=(1-e^-s)e^-s(1-e^-s)^2=e^-s1-e^-s

Passo 4

Substituindo de volta,
L[⌊t⌋]=1scdote^-s1-e^-s=1s(e^s-1)

Passo 5

Para L[⌊t⌋-t] aplicamos linearidade e a transformada de t, que é 1/s^2. Assim
L[⌊t⌋-t]=1s(e^s-1)-1s^2 =s-(e^s-1)s^2(e^s-1) =s+1-e^ss^2(e^s-1)

Resposta

L[⌊t⌋]=\frac{1}{s,(e^{s}-1)}
e
L[⌊t⌋-t]=\frac{s+1-e{s}}{s{2}(e^{s}-1)}

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