Calcule as seguintes transformadas:
(x) L[4 cos 2 t-t cos 2 t]

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a transformada de Laplace de 4cos2t - tcos2t. O conteúdo principal é transformada de Laplace e vamos usar linearidade e a propriedade de derivação em relação a s para lidar com o fator t.

Passo 2

Primeiro, pela propriedade da linearidade, temos:
L[4cos2t - tcos2t] = 4,L[cos2t] - L[tcos2t]

Passo 3

Em seguida, lembramos que
L[cos a t]=ss^2+a^2
No nosso caso, a=2, logo
L[cos2t]=ss^2+4
Portanto
4,L[cos2t]=4cdotss^2+4

Passo 4

Para L[tcos2t] usamos a propriedade
L[t,f(t)]=-ddsF(s),
onde F(s)=L[f(t)]. Aqui f(t)=cos2t então
F(s)=ss^2+4
Derivando em relação a s:
ddsl(ss^2+4r)=(s^2+4)-2s^2(s^2+4)^2=4-s^2(s^2+4)^2
Logo
L[tcos2t]= -ddsF(s)=s^2-4(s^2+4)^2

Passo 5

Agora é só juntar os dois resultados:
L[4cos2t - tcos2t]=4cdotss^2+4-s^2-4(s^2+4)^2
Para escrever em denominação comum (s^2+4)^2:
4ss^2+4=4s(s^2+4)(s^2+4)^2=4s^3+16s(s^2+4)^2,
então
L[4cos2t - tcos2t]=4s^3+16s - (s^2-4)(s^2+4)^2=4s^3 - s^2 +16s +4(s^2+4)^2

Resposta

4s^3 - s^2 +16s +4(s^2+4)^2

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