Encontre a solução de cada PVI:
(d) ly^prime prime-3 y^prime+2 y=20 sen t y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de segunda ordem y''-3y'+2y=20sin t com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. O conteúdo é EDO linear de coeficientes constantes não-homogênea; vamos usar a equação característica para a parte homogênea e o método dos coeficientes a determinar para a parte particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos y''-3y'+2y=0. A equação característica é
r^2-3r+2=0
Que fatoriza em (r-1)(r-2)=0, dando raízes r=1 e r=2. Logo a solução homogênea é
yh=C1e^t+C2e^2t

Passo 3

Para achar uma solução particular, notamos que o termo forçante é 20sin t. Tentamos
yp=Acos t+Bsin t
Então
yp'=-Asin t+Bcos t,
yp''=-Acos t-Bsin t
Substituindo em y''-3y'+2y=20sin t obtemos
(-Acos t -Bsin t)-3(-Asin t+Bcos t)+2(Acos t+Bsin t)=20sin t
Reagrupando coeficientes:
(A-3B)cos t+(3A+B)sin t=20sin t
Igualando coeficientes dá o sistema
A-3B=0, 3A+B=20
Daí A=3B e 10B=20, logo B=2 e A=6. Portanto
yp=6cos t+2sin t

Passo 4

A solução geral é
y=yh+yp=C1e^t+C2e^2t+6cos t+2sin t
Aplicando as condições iniciais: em t=0 temos
y(0)=C1+C2+6=0implies C1+C2=-6,
y'(t)=C1e^t+2C2e^2t-6sin t+2cos t
e em t=0
y'(0)=C1+2C2+2=0implies C1+2C2=-2
Resolvendo o sistema obtém-se C2=4 e C1=-10.

Resposta

y(t)=-10e^t+4e^2t+6cos t+2sin t

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