Use a igualdade (7.13) para calcular L[sen omega t] e L[cos omega t]. Sugestão: (sen omega t)^prime prime=-omega^2 sen omega t e (cos omega t)^prime prime=-omega^2 cos omega t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as transformadas de Laplace de sen(omega t) e cos(omega t) usando a igualdade (7.13), que é a fórmula da transformada de Laplace da segunda derivada:
L[f''] = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) Além disso, temos as dicas (sen(omega t))'' = -omega^2 sen(omega t) e (cos(omega t))'' = -omega^2 cos(omega t).

Passo 2

Para f(t)=sen(omega t), calculamos as condições iniciais: f(0)=sen(0)=0 e f'(t)=omegacos(omega t), então f'(0)=omega. Aplicando a igualdade L[f''] = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) com f''=-omega^2 f, obtemos:
s^2 F(s) - scdot0 - omega = -omega^2 F(s) Reagrupando:
(s^2+omega^2)F(s)=omega
o que leva a
F(s)=omegas^2+omega^2

Passo 3

Para f(t)=cos(omega t), temos f(0)=cos(0)=1 e f'(t)=-omegasen(omega t), logo f'(0)=0. Aplicando a mesma igualdade com f''=-omega^2 f, dá:
s^2 F(s) - scdot1 - 0 = -omega^2 F(s)
e, assim,
(s^2+omega^2)F(s)=s
resultando em
F(s)=ss^2+omega^2

Resposta

L[\operatorname{sen}(\omega t)] = \frac{\omega}{s2+\omega2} e L[\cos(\omega t)] = \frac{s}{s2+\omega2}

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