y^prime prime-2 y^prime+y=x^2+3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = x^2 + 3x,
usando o método da solução geral (soma da homogênea com uma particular).

Passo 2

Para achar a parte homogênea, montamos a equação característica associada:
r^2 - 2r + 1 = 0
Ela tem raízes iguais, pois
r = 2 pm raiz4 - 42 = 1
(com multiplicidade 2), então a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 x e^x

Passo 3

Buscamos uma solução particular via coeficientes indeterminados. O lado direito é um polinômio de grau 2, então assumimos
yp(x) = Ax^2 + Bx + C

Passo 4

Calculamos as derivadas:
yp'(x) = 2Ax + B,
yp''(x) = 2A
Substituindo na equação original:
2A - 2(2Ax + B) + (Ax^2 + Bx + C) = x^2 + 3x
Isso vira
Ax^2 + (B - 4A)x + (2A - 2B + C) = x^2 + 3x + 0
Igualando coeficientes:
para x^2: A = 1;
para x: B - 4A = 3 implies B = 7;
termo constante: (2A - 2B + C = 0 \implies 2 - 14 + C = 0 \implies C = 12.]

Passo 5

A solução geral é a soma de yh com yp:
y(x) = C1 e^x + C2 x e^x + x^2 + 7x + 12

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 x e^x + x^2 + 7x + 12

Exercícios relacionados