(iii) Mostre que, se f é 2 pi-periódica e f(t)=clsen t, & se 0 <= t <= pi 0, & se pi <= t <= 2 pi então L[f(t)]=1(1-e^-pi s)(s^2+1).

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período 2pi dada por f(t)=sin t se 0<= t<=pi e f(t)=0 se pi<= t<=2pi. A tarefa é calcular sua transformada de Laplace, usando a teoria de funções periódicas.

Passo 2

A transformada de Laplace de uma função f de período T é dada por
L[f](s)=integral0^Te^-stf(t),dt1-e^-sT
Aqui temos T=2pi.

Passo 3

Como f(t)=0 em [pi,2pi], o numerador
integral0^2pie^-stf(t),dt=integral0^pie^-stsin t,dt

Passo 4

Para calcular
I=integral0^pie^-stsin t,dt, aplicamos integração por partes ou usamos a fórmula padrão. O resultado é
I=[-e^-sts^2+1(ssin t+cos t)]0^pi=e^-spi+1s^2+1

Passo 5

Substituindo em L[f](s)=dfracI1-e^-2pi s obtemos
L[f](s)=e^-spi+1(s^2+1)(1-e^-2pi s)

Passo 6

Fatorando 1-e^-2pi s=(1-e^-spi)(1+e^-spi), podemos cancelar 1+e^-spi no numerador e no denominador.
Após o cancelamento, chega-se à forma desejada.

Resposta

L[f](s)=dfrac1(1-e^-pi s)(s^2+1)

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