(iii) Mostre que, se f é
-periódica e
então
.
Passo 1
O enunciado define uma função periódica de período
dada por
se
e
se
. A tarefa é calcular sua transformada de Laplace, usando a teoria de funções periódicas.
Passo 2
A transformada de Laplace de uma função
de período
é dada por
Aqui temos
.
Passo 3
Como
em
, o numerador
Passo 4
Para calcular
, aplicamos integração por partes ou usamos a fórmula padrão. O resultado é
Passo 5
Substituindo em
obtemos
Passo 6
Fatorando
, podemos cancelar
no numerador e no denominador.
Após o cancelamento, chega-se à forma desejada.
Após o cancelamento, chega-se à forma desejada.