Calcule a segunda derivada de cada função dada abaixo. (Obs. Simplifique a expressão obtida)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A parada aqui é calcular a segunda derivada da função $ f(x) = 2\left(x^{2} - 1\right)^{3} $. Para isso, vamos precisar saber como tirar derivadas, especialmente usando a regra da cadeia. Vamo que vamo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A função é composta, então vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta $ h(g(x)) $ é $ h’(g(x)) \cdot g’(x) $.
No nosso caso, $ h(u) = 2u^{3} $ e $ g(x) = x^{2} - 1 $.
Passo 3
Vamos derivar $ h(u) $ em relação a $ u $:
E agora, a derivada de $ g(x) $:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada, ou seja, a derivada de $ f’(x) $:
Aqui, teremos que usar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u(x)v(x) $ é $ u’(x)v(x) + u(x)v’(x) $.
Passo 6
Identificamos $ u(x) = 12x $ e $ v(x) = (x^{2} - 1)^{2} $.
Derivando $ u(x) $:
Derivando $ v(x) $ usando novamente a regra da cadeia:
Passo 7
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 8
Vamos fatorar $ 12(x^{2} - 1) $ em comum:
Resposta
A segunda derivada da função é: