Calcule a segunda derivada de cada função dada abaixo. (Obs. Simplifique a expressão obtida)
f(x)=2(x^2-1)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A parada aqui é calcular a segunda derivada da função $ f(x) = 2\left(x^{2} - 1\right)^{3} $. Para isso, vamos precisar saber como tirar derivadas, especialmente usando a regra da cadeia. Vamo que vamo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A função é composta, então vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta $ h(g(x)) $ é $ h’(g(x)) \cdot g’(x) $.
No nosso caso, $ h(u) = 2u^{3} $ e $ g(x) = x^{2} - 1 $.

Passo 3

Vamos derivar $ h(u) $ em relação a $ u $:
h(u)
E agora, a derivada de $ g(x) $:
u

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = h'(g(x)) cdot g'(x) = 6(g(x))^2 cdot 2x = 6(x^2 - 1)^2 cdot 2x = 12x(x^2 - 1)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada, ou seja, a derivada de $ f’(x) $:
f'(x)
Aqui, teremos que usar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u(x)v(x) $ é $ u’(x)v(x) + u(x)v’(x) $.

Passo 6

Identificamos $ u(x) = 12x $ e $ v(x) = (x^{2} - 1)^{2} $.
Derivando $ u(x) $:
u(x) = 12x
Derivando $ v(x) $ usando novamente a regra da cadeia:
v(x) = (x^2 - 1)^2

Passo 7

Aplicando a regra do produto:
f''(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 12(x^2 - 1)^2 + 12x cdot 4x(x^2 - 1)
Simplificando:
f''(x) = 12(x^2 - 1)^2 + 48x^2(x^2 - 1)

Passo 8

Vamos fatorar $ 12(x^{2} - 1) $ em comum:
12(x^2 - 1)

Resposta

A segunda derivada da função é:
f''(x) = 12(x^2 - 1)(5x^2 - 1)

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