Considere que f(z)=(z)^2i seja o valor principal da potência complexa no dominio em que |z|>0 e -pi. Calcule o valor da derivada da função em z=i.

Passo 1

A questão dá a função f(z)=z^2i usando o valor principal de potência complexa, isto é z^2i=e^2i,Log,z com Log sendo o logaritmo principal (domínio |z|>0, -pi). Precisamos usar a definição de potência via exponencial e a derivada de Log.

Passo 2

Escrevendo f(z)=e^2i,Log,z, aplicamos a regra da cadeia:
f'(z)=e^2i,Log,zcdot2icdotdfracddz(Log,z)=2i,e^2i,Log,zcdotdfrac1z=2i,z^2i-1

Passo 3

Agora avaliamos em z=i:
Temos f'(i)=2i,i^2i-1 Como i^2i-1=i^2i,i^-1 e i^-1=-i,
logo f'(i)=2i,(-i),i^2i=2,i^2,i^2i= -2,i^2i

Passo 4

Para achar i^2i usamos i^2i=e^2i,Log,i e Log,i=ln1+idfracpi2=idfracpi2,
de onde i^2i=e^2i,(ipi2)=e^-pi

Passo 5

Substituindo, obtemos f'(i)= -2,e^-pitimes(-1)=2e^-pi

Resposta

2e^{-\pi}

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