Encontre uma representação em série de potências para cada uma das funções a seguir, centrada em
, e determine o intervalo de convergência da série. (Dica: Lembre-se da série geométrica básica:
Utilize substituições e manipulações algébricas adequadas para reescrever cada função neste formato ou em derivadas/integradas dela.)
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências de
em torno de
, usando a série geométrica
para
. Vamos reescrever a função de modo a aplicar essa série.
Passo 2
Primeiro, fatoramos
no denominador para deixar a função no formato
:
Em seguida, identificamos o termo geométrico
. A série
converge se
, ou seja
, equivalendo a
.
Passo 3
Agora aplicamos a expansão geométrica em
:
Multiplicando por
obtemos
Passo 4
Portanto, a expansão em série de potências de
é
eu o raio e intervalo de convergência são dados por
.
Resposta
A série de potências é
e o intervalo de convergência é
.