Encontre uma representação em série de potências para cada uma das funções a seguir, centrada em x=0, e determine o intervalo de convergência da série. (Dica: Lembre-se da série geométrica básica:
11-x=sumn=0^infty x^n, para |x|<1
Utilize substituições e manipulações algébricas adequadas para reescrever cada função neste formato ou em derivadas/integradas dela.)
f(x)=-x^2a^3-x^3

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de f(x)= -dfracx^2a^3 - x^3 em torno de x=0, usando a série geométrica 1/(1 - t)=sumn=0^infty t^n para |t|<1. Vamos reescrever a função de modo a aplicar essa série.

Passo 2

Primeiro, fatoramos a^3 no denominador para deixar a função no formato constantetimes1/(1 - t):
f(x)=-x^2a^3 - x^3=-x^2a^3l(1-tfracx^3a^3r)=-x^2a^3cdot11-tfracx^3a^3
Em seguida, identificamos o termo geométrico t=tfracx^3a^3. A série 1/(1-t)=sumn=0^infty t^n converge se |t|<1, ou seja |x^3/a^3|<1, equivalendo a |x|<|a|.

Passo 3

Agora aplicamos a expansão geométrica em 1/(1 - x^3/a^3):
11-tfracx^3a^3=sumn=0^inftyl(x^3a^3r)^n=sumn=0^inftyx^3na^3n
Multiplicando por -x^2/a^3 obtemos
f(x)=-x^2a^3sumn=0^inftyx^3na^3n=-sumn=0^inftyx^3n+2a^3n+3

Passo 4

Portanto, a expansão em série de potências de f(x) é
f(x)=-sumn=0^inftyx^3n+2a^3n+3,
eu o raio e intervalo de convergência são dados por |x|<|a|.

Resposta

A série de potências é -sumn=0^inftyx^3n+2a^3n+3 e o intervalo de convergência é |x|<|a|.

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