Calcule a segunda derivada de cada função dada abaixo. (Obs. Simplifique a expressão obtida)
f(x)=sin (x^3)

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Vamos calcular a segunda derivada de f(x)=sin(x^3). O conteúdo envolve a regra da cadeia (para derivar sin(u)) e, na segunda derivada, também a regra do produto.

Passo 2

Cálculo da primeira derivada: Aplicando a regra da cadeia, a derivada de sin(x^3) é cos(x^3) vezes a derivada de x^3, que é 3x^2. Portanto,
f'(x)=3x^2cos(x^3)

Passo 3

Cálculo da segunda derivada e simplificação: Agora derivamos f'(x)=3x^2cos(x^3) usando a regra do produto. Defina u(x)=3x^2 e v(x)=cos(x^3). Então
u'(x)=6x, v'(x)=-3x^2sin(x^3)
Pela regra do produto,
f''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=6xcos(x^3)-9x^4sin(x^3)
Fatorando 3x para simplificar,
f''(x)=3xl(2cos(x^3)-3x^3sin(x^3)r)

Resposta

f''(x)=3xl(2cos(x^3)-3x^3sin(x^3)r)

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