Calcule a segunda derivada de cada função dada abaixo. (Obs. Simplifique a expressão obtida)
f(x)=ln (x^-4+x^4);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a segunda derivada de f(x)=ln(x{-4}+x4). O conteúdo envolvido é derivação de funções compostas e regra do quociente, então vamos usar a regra da cadeia para f’ e depois a regra do quociente para f’’.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia: se f(x)=ln(u(x)), então f’(x)=u’(x)/u(x). Aqui u(x)=x{-4}+x4. Calculamos u’(x):
u'(x)=ddx(x^-4)+ddx(x^4)=-4x^-5+4x^3
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f'(x)=-4x^-5+4x^3x^-4+x^4=4x^3 - x^-5x^-4+x^4
Para simplificar, note que x^3 - x{-5}=(x8-1)/x^5 e x{-4}+x4=(x8+1)/x4. Assim
f'(x)=4(x^8-1)/x^5(x^8+1)/x^4=4x^8-1x(x^8+1)

Passo 3

Para obter f’’(x) derivamos f’(x)=4·g(x) com g(x)=(x8-1)/[x(x8+1)]. Usamos a regra do quociente g’=(N’·D - N·D’)/D^2, onde N=x^8-1, D=x^9+x. Temos
$$N’=8x^7,
D’=9x^8+1. N'=8x^7, D'=9x^8+1N’D - N D’=8x7(x9+x)-(x8-1)(9x8+1)=-x{16}+16x8+1.$$
E
N'D - N D'=8x^7(x^9+x)-(x^8-1)(9x^8+1)=-x^16+16x^8+1
Portanto g’(x)=(-x{16}+16x8+1)/[x2(x8+1)^2] e
D^2=(x^9+x)^2=x^2(x^8+1)^2

Resposta

f''(x)=dfrac4(-x^16+16x^8+1)x^2,(x^8+1)^2

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