Calcule a segunda derivada de cada função dada abaixo. (Obs. Simplifique a expressão obtida)
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a segunda derivada de f(x)=ln(x{-4}+x4). O conteúdo envolvido é derivação de funções compostas e regra do quociente, então vamos usar a regra da cadeia para f’ e depois a regra do quociente para f’’.
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia: se f(x)=ln(u(x)), então f’(x)=u’(x)/u(x). Aqui u(x)=x{-4}+x4. Calculamos u’(x):
Logo
Para simplificar, note que x^3 - x{-5}=(x8-1)/x^5 e x{-4}+x4=(x8+1)/x4. Assim
Passo 3
Para obter f’’(x) derivamos f’(x)=4·g(x) com g(x)=(x8-1)/[x(x8+1)]. Usamos a regra do quociente g’=(N’·D - N·D’)/D^2, onde N=x^8-1, D=x^9+x. Temos
$$N’=8x^7,
D’=9x^8+1.
N’D - N D’=8x7(x9+x)-(x8-1)(9x8+1)=-x{16}+16x8+1.$$
E
Portanto g’(x)=(-x{16}+16x8+1)/[x2(x8+1)^2] e