Calcule n para que seja 60^circ o ângulo entre os vetores u=(1, n) e imath=(1,0). Represente graficamente. Use: cos 60^circ=12 R: n= pm raiz3

Passo 1

O enunciado pede para achar o(s) valor(es) de n de modo que o ângulo entre u=(1,n) e imath=(1,0) seja 60^circ. O conteúdo aqui é produto escalar e a fórmula que relaciona o produto escalar de dois vetores com o cosseno do ângulo entre eles:
ucdotv ;=;|u|;|v|;costheta

Passo 2

Aplicando essa fórmula a u e imath com theta=60^circ e sabendo que cos60^circ=tfrac12, temos
ucdotimath ;=;|u|;|imath|;12
Agora, calculemos cada parcela:

Passo 3

O produto escalar e as normas são:
ucdotimath = (1,n)cdot(1,0) = 1cdot1 + ncdot0 = 1,
|u| = raiz1^2 + n^2 = raiz1+n^2, |imath| = raiz1^2+0^2 = 1
Substituindo em ucdotimath = |u||imath|tfrac12:
1 = raiz1+n^2,cdot 1 ,cdot 12 Longrightarrow 2 = raiz1+n^2 Longrightarrow 4 = 1 + n^2 Longrightarrow n^2 = 3 Longrightarrow n = pmraiz3

Passo 4

Para representar graficamente, trace o eixo x (vetor imath) e, a partir da origem, desenhe as duas possibilidades de u:
  • Se n = +raiz3, então u=(1,raiz3) é uma seta que forma 60^circ acima do eixo x.
  • Se n = -raiz3, então u=(1,-raiz3) forma 60^circ abaixo do eixo x.

Resposta

n = pmraiz3

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