Determine o valor de para que seja o ângulo entre os vetores e e represente graficamente. Use:

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o(s) valor(es) de a tal que o ângulo entre
u=(2,1) e v=(1,a) seja 45^circ. Vamos usar o conceito de produto escalar de vetores, que diz que
costheta = ucdotv|u|;|v|
e o dado cos45^circ=tfracraiz22.

Passo 2

Calculemos o produto escalar e as normas:
ucdotv = 2cdot1 + 1cdot a = 2 + a,
|u| = raiz2^2 + 1^2 = raiz5, |v| = raiz1^2 + a^2 = raiz1 + a^2

Passo 3

Substituindo na fórmula do cosseno do ângulo e igualando a tfracraiz22:
2+araiz5,raiz1+a^2 = raiz22
Multiplicando em cruz e elevando ao quadrado para eliminar raízes:
2(2+a) = raiz2,raiz5,raiz1+a^2 ;Longrightarrow; 4(2+a)^2 = 10(1+a^2)

Passo 4

Desenvolvendo e reorganizando em forma de equação quadrática:
4(a^2 + 4a +4) = 10 +10a^2 ;Longrightarrow; 6a^2 -16a -6 = 0 ;Longrightarrow; 3a^2 -8a -3 = 0
As raízes são
a = 8pmraiz64 + 366 = 8pm106 ;Longrightarrow; a = 3 ou a = -tfrac13

Passo 5

Para representar graficamente, basta desenhar o plano cartesiano, traçar o vetor u de origem em O=(0,0) até U=(2,1) e os vetores v1 e v2 que vão até V1=(1,3) e V2=(1,-tfrac13). Em ambos os casos o ângulo formado em O com u mede 45^circ.

Resposta

a = 3 e a = -tfrac13

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