Seja o triângulo A B C, calcule seu perímetro e determine os ângulos internos do triângulo A B C e represente graficamente, sendo:
A=(1,1), B=(4,0) e C=(3,4).

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo ABC no plano cartesiano:
A=(1,1), B=(4,0) e C=(3,4). Pede-se o perímetro, os ângulos internos e uma representação gráfica. Vamos usar a fórmula da distância entre pontos para achar os comprimentos dos lados e depois a lei dos cossenos para os ângulos.

Passo 2

Usando a fórmula da distância
d(P,Q)=raiz(xQ-xP)^2+(yQ-yP)^2,
calculamos os três lados:
AB=raiz(4-1)^2+(0-1)^2=raiz9+1=raiz10,
BC=raiz(3-4)^2+(4-0)^2=raiz1+16=raiz17,
CA=raiz(1-3)^2+(1-4)^2=raiz4+9=raiz13

Passo 3

O perímetro é a soma dos comprimentos:
P = AB + BC + CA = raiz10 + raiz17 + raiz13

Passo 4

Para os ângulos internos usamos a lei dos cossenos
cosang<= A=AB^2+CA^2-BC^22cdot ABcdot CA, cosang<= B=AB^2+BC^2-CA^22cdot ABcdot BC, cosang<= C=BC^2+CA^2-AB^22cdot BCcdot CA
Substituindo:
cosang<= A=10+13-172raiz10raiz13=3raiz130, ang<= A=arccos!l(tfrac3raiz130r)approx74,7^circ;
cosang<= B=10+17-132raiz10raiz17=7raiz170, ang<= B=arccos!l(tfrac7raiz170r)approx57,5^circ;
cosang<= C=17+13-102raiz17raiz13=10raiz221, ang<= C=arccos!l(tfrac10raiz221r)approx47,8^circ

Passo 5

Representação gráfica (esquemática) no plano :
   y
   |
 \(4\) |       C(\(3,4\))
   |
 \(3\) |
   |
 \(2\) |
   |
 \(1\) | A(\(1,1\))
   |
 \(0\) |         B(\(4,0\))
   \(+\)---------------- x
\[1234\]
Ligue os pontos A–B–C–A para formar o triângulo.

Resposta

Perímetro: raiz10 + raiz17 + raiz13approx10,89.
Ângulos internos: ang<= Aapprox74,7^circ, ang<= Bapprox57,5^circ, ang<= Capprox47,8^circ.

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