Calcule sen 2 x, sabendo que: tg x+cotg x=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de trigonometria! A gente precisa calcular sen 2x, sabendo que tg x + cotg x = 3. Vamos usar algumas identidades trigonométricas para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cotg x é o mesmo que 1tg x. Então, podemos reescrever a equação assim:
tg x + 1tg x = 3

Passo 3

Vamos chamar tg x de t para simplificar a equação:
t + 1t = 3

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por t para eliminar a fração:
t^2 + 1 = 3t

Passo 5

Agora, vamos rearranjar a equação para formar uma equação quadrática:
t^2 - 3t + 1 = 0

Passo 6

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t = 3 pm raiz9 - 42 = 3 pm raiz52

Passo 7

Sabemos que sin(2x) = 2 sin x cos x. Também, tg x = sin xcos x, então sin x cos x = 1tg x + cotg x = 13.

Passo 8

Substituindo na identidade de sin(2x):
sin(2x) = 2 times 13 = 23

Resposta

sen 2x = 23

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