Calcule cotg 165^circ, sec 255^circ e cossec 15^circ.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de trigonometria que pede para calcular , e . A gente vai precisar lembrar das definições dessas funções trigonométricas e de algumas identidades trigonométricas básicas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . A cotangente é o inverso da tangente, ou seja, . Sabemos que , então a cotangente também pode ser escrita como .

Passo 3

Para sin(180^circ - alpha) = sin(alpha) , podemos usar a fórmula de redução para facilitar o cálculo. Sabemos que cos(180^circ - alpha) = -cos(alpha) . Usando as identidades de ângulos suplementares:
cot(165^circ) = cos(15^circ)sin(15^circ) times (-1) = -cot(15^circ)
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular cot(15^circ) = 1tan(15^circ) . Podemos usar a fórmula de cotangente para um ângulo de cot(15^circ) = 12 - raiz3 = 2 + raiz3(2 - raiz3)(2 + raiz3) = 2 + raiz3 :
cot(165^circ) = - (2 + raiz3)
Sabemos que , então:
Portanto,

Passo 5

Vamos para cos(270^circ - alpha) = sin(alpha) . A secante é o inverso do cosseno, ou seja, cos(255^circ) = sin(15^circ) . Vamos simplificar sec(255^circ) = 1raiz6 - raiz24 = 4raiz6 - raiz2 = 4(raiz6 + raiz2)(raiz6 - raiz2)(raiz6 + raiz2) = raiz6 + raiz2 .
Sabemos que . Usando a identidade:
Então,
Sabemos que , então:

Passo 6

Por último, vamos calcular csc(15^circ) = 1raiz6 - raiz24 = 4raiz6 - raiz2 = 4(raiz6 + raiz2)(raiz6 - raiz2)(raiz6 + raiz2) = raiz6 + raiz2 . A cossecante é o inverso do seno, ou seja, . Sabemos que , então:

Resposta

cot(165^circ) = - (2 + raiz3), sec(255^circ) = raiz6 + raiz2, csc(15^circ) = raiz6 + raiz2

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