Nos exercícios 11 e 13 resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação $ x y^{2} \frac{dy}{dx} = y^{3} - x^{3} $ com a condição inicial $ y(1) = 2 $. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente substituições para simplificar a equação e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a substituição. Dividimos ambos os lados por $ x y^{2} $:
Passo 3
Agora, simplificamos o lado direito da equação:
Passo 4
Percebemos que essa equação não é diretamente separável, então vamos tentar uma substituição. Vamos definir $ v = \frac{y}{x} $. Isso significa que $ y = v x $.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar $ \frac{dy}{dx} $ em termos de $ v $ e $ x $. Derivando $ y = v x $ em relação a $ x $:
Passo 6
Substituímos $ y $ e $ \frac{dy}{dx} $ na equação simplificada:
Passo 7
Simplificamos a equação resultante:
Subtraindo $ v $ de ambos os lados:
Passo 8
Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis $ v $ e $ x $:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Passo 10
Substituímos $ v = \frac{y}{x} $ de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Onde $ C’ = 3C $ é uma constante de integração.
Passo 11
Usamos a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar a constante $ C’ $:
Como $ \ln(1) = 0 $:
Passo 12
Substituímos $ C’ $ de volta na equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Ou, de forma isolada para $ y $: