Nos exercícios 11 e 13 resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
x y^2 d yd x=y^3-x^3 com y(1)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação $ x y^{2} \frac{dy}{dx} = y^{3} - x^{3} $ com a condição inicial $ y(1) = 2 $. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente substituições para simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a substituição. Dividimos ambos os lados por $ x y^{2} $:
x y^2

Passo 3

Agora, simplificamos o lado direito da equação:
dydx = y^3x y^2 - x^3x y^2 = yx - x^2y^2

Passo 4

Percebemos que essa equação não é diretamente separável, então vamos tentar uma substituição. Vamos definir $ v = \frac{y}{x} $. Isso significa que $ y = v x $.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar $ \frac{dy}{dx} $ em termos de $ v $ e $ x $. Derivando $ y = v x $ em relação a $ x $:
dydx

Passo 6

Substituímos $ y $ e $ \frac{dy}{dx} $ na equação simplificada:
y

Passo 7

Simplificamos a equação resultante:
v + x dvdx = v - 1v^2
Subtraindo $ v $ de ambos os lados:
v

Passo 8

Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis $ v $ e $ x $:
v

Passo 9

Integrando ambos os lados:
integral v^2 dv = integral -1x dx
Calculando as integrais:
v^33 = -ln|x| + C

Passo 10

Substituímos $ v = \frac{y}{x} $ de volta na equação:
v = yx
Multiplicando ambos os lados por 3:
(yx)^33 = -ln|x| + C
Onde $ C’ = 3C $ é uma constante de integração.

Passo 11

Usamos a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar a constante $ C’ $:
y(1) = 2
Como $ \ln(1) = 0 $:
C'

Passo 12

Substituímos $ C’ $ de volta na equação:
C'

Resposta

A solução da equação diferencial é:
(yx)^3 = 8 - 3 ln|x|
Ou, de forma isolada para $ y $:
y

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