Utilizando a Substituição Trigonométrica, calcule as primitivas.
(o) integral 1y^2 raizy^2-16 d y

Passo 1

Temos a integral integral 1y^2raizy^2-16,dy. O conteúdo aqui é integração de funções com radicais quadráticos usando substituição trigonométrica. Para resolver, vamos usar a substituição que elimina raizy^2-16.

Passo 2

Fazemos a substituição y = 4sectheta. Assim, temos:
dy = 4secthetatantheta,dtheta,
e
raizy^2-16 = raiz16sec^2theta - 16 = 4tantheta
Também y^2 = 16sec^2theta. Substituindo tudo na integral:
integral 1y^2raizy^2-16,dy = integral 116sec^2theta cdot 4tantheta l(4secthetatantheta,dthetar)

Passo 3

Simplificando dentro da integral:
4secthetatantheta64sec^2thetatantheta = 464sectheta = 116costheta
Logo a integral vira
integral 1y^2raizy^2-16,dy = 116 integral costheta,dtheta

Passo 4

Integrando em theta:
116 integral costheta,dtheta = 116 sintheta + C

Passo 5

Precisamos voltar para a variável y. Como sectheta = tfracy4, temos costheta = tfrac4y e
sintheta = raiz1-cos^2theta = raiz1 - 16y^2 = raizy^2-16|y|
Assumindo y>4 para simplificar (caso geral entra valor absoluto que cai na constante), fica sintheta = tfracraizy^2-16y. Portanto, a primitiva é
116 sintheta + C = 116 cdot raizy^2-16y + C

Resposta

raizy^2-1616,y + C

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