Calcule sendo:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergência e o rotacional do campo vetorial vec F(x,y,z) = (z + sin y),i - (z - xcos y),j. Troca-se “rot” por rotacional, ou “curl”, e “div” por divergência. Vamos usar derivadas parciais.

Passo 2

Identificamos as componentes do campo vetorial como
P(x,y,z) = z + \sin y,
Q(x,y,z) = -\bigl(z - x\cos y\bigr) = -z + x\cos y,
R(x,y,z) = 0.

Passo 3

Para a divergência usamos a fórmula
divvec F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Calculamos cada termo:
  • item $partial P/partial x = 0$ porque $P$ não depende de $x$ além do zero item $partial Q/partial y = partial(-z + xcos y)/partial y = xcdot(-sin y) = -xsin y$ item $partial R/partial z = 0$ pois $R=0$ é constante porque divvec F = 0 + (-xsin y) + 0 = -xsin y não depende de além do zero.
  • pois é constante.
Somando, obtemos

Passo 4

Para o rotacional usamos a definição em componentes:
$$\operatorname{rot}\vec F = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right).
$$
Calculamos cada parcela:
  • rotvec F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z,; partial Ppartial z - partial Rpartial x,; partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , porque item $partial R/partial y - partial Q/partial z = 0 - (-1) = 1$, porque $partial Q/partial z = partial(-z + xcos y)/partial z = -1$ item $partial P/partial z - partial R/partial x = 1 - 0 = 1$, já que $partial P/partial z = 1$ item $partial Q/partial x - partial P/partial y = (cos y) - (cos y) = 0$ .
  • rotvec F = (1,,1,,0), já que .
  • .
Logo,

Resposta

divvec F = -x,sin y e rotvec F = (1,,1,,0).

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