Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a integral iterada
. O conteúdo é integração dupla em regiões planas e vamos precisar de coordenadas polares para facilitar, pois a região é parte de um círculo.
Passo 2
Descrição da região: A condição
e
define a semidisco superior de raio 1 centrado na origem. Em coordenadas cartesianas, é difícil integrar
, mas em polares isso fica simples.
Conversão para coordenadas polares: Em polares fazemos ,
e o elemento de área é
. A região se torna
Conversão para coordenadas polares: Em polares fazemos
Passo 3
Substituindo na integral: O integrando
vira
. Assim a integral dupla é
Passo 4
Cálculo da integral em
: Faça a substituição
, logo
e
. Temos
Passo 5
Integração em
: Como o resultado anterior não depende de
, multiplica-se pelo comprimento do intervalo
logo a integral completa é