Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
integral-1^1 integral0^raiz1-x^2 sen(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a integral iterada integralx=-1^1integraly=0^raiz1-x^2sin(x^2+y^2),dy,dx. O conteúdo é integração dupla em regiões planas e vamos precisar de coordenadas polares para facilitar, pois a região é parte de um círculo.

Passo 2

Descrição da região: A condição y>=0 e x^2+y^2<=1 define a semidisco superior de raio 1 centrado na origem. Em coordenadas cartesianas, é difícil integrar sin(x^2+y^2), mas em polares isso fica simples.
Conversão para coordenadas polares: Em polares fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e o elemento de área é dA=r,dr,dtheta. A região se torna
0<= r<=1,0<=theta<=pi

Passo 3

Substituindo na integral: O integrando sin(x^2+y^2) vira sin(r^2). Assim a integral dupla é
integraltheta=0^piintegralr=0^1sin(r^2),r,dr,dtheta

Passo 4

Cálculo da integral em r: Faça a substituição u=r^2, logo du=2r,dr e r,dr=du/2. Temos
integralr=0^1rsin(r^2),dr=12integralu=0^1sin(u),du=12l[-cos(u)r]0^1=12l(1-cos(1)r)

Passo 5

Integração em theta: Como o resultado anterior não depende de theta, multiplica-se pelo comprimento do intervalo
integral0^pi,dtheta=pi,
logo a integral completa é
pitimes12l(1-cos(1)r)=pi2l(1-cos(1)r)

Resposta

pi2l(1-cos(1)r)

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