Calcule de<a^4 z8 x d y^2 f x, sendo z=y^2 e^x^2

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente calcular
partial^4 zpartial x ,partial y^2 ,partial x
sendo
z=y^2,e^x^2
Isso é parte de Cálculo Multivariável (derivadas parciais). Vamos precisar de:
  • definição de derivada parcial,
  • regra do produto,
  • regra da cadeia,
  • teorema de Clairaut (pra podermos trocar a ordem das diferenciações sem problemas).

Passo 2

Como z é suave (todas as derivadas existem e são contínuas), vale o teorema de Clairaut. Logo
partial^4 zpartial x,partial y^2,partial x =partial^4 zpartial x^2,partial y^2 =partial^2partial x^2l(partial^2 zpartial y^2r)
Então a gente primeiro faz partial^2/partial y^2 e depois partial^2/partial x^2.

Passo 3

Calcular partial^2 zpartial y^2:
1)
partial zpartial y =partialpartial y(y^2,e^x^2) =2y,e^x^2 (power ru<= em y^2)
partial^2 zpartial y^2 =partialpartial y(2y,e^x^2) =2,e^x^2 (e^x^2 é constante em y) é

Passo 4

Agora faz partial^2partial x^2l(2e^x^2r):
1)
ddx(2e^x^2) =2cdotl(e^x^2r)'! =2cdot(2x,e^x^2) =4x,e^x^2 (cadeia: (e^u)'=e^u u')
ddx(4x,e^x^2) =4,e^x^2+4xcdot(2x,e^x^2) =4e^x^2+8x^2e^x^2 =4e^x^2(1+2x^2)

Resposta

partial^4 zpartial x,partial y^2,partial x =4e^x^2l(1+2x^2r)

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