Resolva por transformadas:
y^prime prime+4 y^prime+5 y=de<a(t-pi), y(0)=2, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace a EDO
y''+4y'+5y=de<a(t-pi), y(0)=2,;y'(0)=0
O conteúdo usado será:
  • Ly'=sY(s)-y(0) e Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0).
  • Lde<a(t-pi)=e^-pi s.
  • Teorema do deslocamento (segunda fórmula de tradução).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, denotando Y(s)=Ly(t), temos
Ly'' +4Ly' +5Ly = (s^2Y-2s-0)+4(sY-2)+5Y =Y,(s^2+4s+5)-(2s+8),
logo
Y(s),(s^2+4s+5)-(2s+8)=e^-pi s Longrightarrow Y(s)=2s+8s^2+4s+5+e^-pi ss^2+4s+5

Passo 3

Para inverter 2s+8s^2+4s+5, completamos o quadrado no denominador:
s^2+4s+5=(s+2)^2+1,
e escrevemos
2s+8=2(s+2)+4
Assim
2s+8(s+2)^2+1 =2s+2(s+2)^2+1 +41(s+2)^2+1

Passo 4

Inversão da parte contínua:
L^-1!s+2(s+2)^2+1 =e^-2tcos t, L^-1!1(s+2)^2+1 =e^-2tsin t
Logo a solução da homogênea com as condições iniciais é
yh(t)=2e^-2tcos t +4e^-2tsin t

Passo 5

Inversão da parte com o impulso:
L^-1!e^-pi s(s+2)^2+1 =u(t-pi),e^-2(t-pi)sinl(t-pir),
onde u(t-pi) é a função degrau em t=pi.

Resposta

y(t)=2e^-2tcos t +4e^-2tsin t +u(t-pi),e^-2(t-pi)sinl(t-pir)

Exercícios relacionados