Calcule B^33, sendo B=(ll1 & 3 3 & 1).

Passo 1

O enunciado pede B^33 para
B = 1 & 33 & 1
O conteúdo principal é usar diagonalização de matrizes simétricas: vamos achar autovalores e autovetores de B, escrever B = P,D,P^-1, obter B^n = P,D^n,P^-1 e depois substituir n=33.

Passo 2

Calcular os autovalores de B resolvendo det(B-lambda I)=0.
det!1-lambda & 33 & 1-lambda =(1-lambda)^2-9 =lambda^2-2lambda-8=0
As raízes são
lambda1=4, lambda2=-2

Passo 3

Encontrar autovetores:
Para lambda1=4, obtemos o autovetor 11.
Para lambda2=-2, obtemos o autovetor 1-1.
Formamos
P=1 & 11 & -1, D=4&00&-2
Como det P=-2,
P^-1=1-2-1 & -1-1 & 1 =tfrac12&tfrac12tfrac12&-tfrac12

Passo 4

Usando , com , obtemos
]

Passo 5

Para n=33 temos (-2)^33=-2^33 e 4^33=2^66. Logo
B^33 = tfrac2^66-2^332 & tfrac2^66+2^332[6pt] tfrac2^66+2^332 & tfrac2^66-2^332 = 2^65-2^32 & 2^65+2^32[4pt] 2^65+2^32 & 2^65-2^32 ]

Resposta

B^33 = 2^65-2^32 & 2^65+2^32[4pt] 2^65+2^32 & 2^65-2^32 ]

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