Sejam
um espaço vetorial e
um operador em
. Dizemos que um subespaço
é invariante por
se
para todo
.
Mostre que
e
são invariantes por qualquer
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define um subespaço
como invariável por
se para todo
tivermos
. Queremos mostrar que, para qualquer operador linear
, os subespaços triviais
e
satisfazem essa propriedade.
Passo 2
Para verificar que
é invariante, note que um operador linear sempre satisfaz
Como o único vetor de
é o próprio zero, concluímos que
para todo
. Logo,
é invariante por
.
Passo 3
Para verificar que
é invariante, observe que a imagem de qualquer vetor em
pelo operador
está em
, pois
tem contradomínio
. Portanto, se
então
, e assim
é invariante por
.