Sejam V um espaço vetorial e T: V V um operador em V. Dizemos que um subespaço W subset V é invariante por T se T(v) in W para todo v in W.
Mostre que 0 e V são invariantes por qualquer T: V V.

Passo 1

O enunciado define um subespaço Wsubset V como invariável por T se para todo vin W tivermos T(v)in W. Queremos mostrar que, para qualquer operador linear Tcolon Vto V, os subespaços triviais 0 e V satisfazem essa propriedade.

Passo 2

Para verificar que 0 é invariante, note que um operador linear sempre satisfaz
T(0)=0
Como o único vetor de 0 é o próprio zero, concluímos que T(v)in0 para todo vin0. Logo, 0 é invariante por T.

Passo 3

Para verificar que V é invariante, observe que a imagem de qualquer vetor em V pelo operador T está em V, pois T tem contradomínio V. Portanto, se vin V então T(v)in V, e assim V é invariante por T.

Resposta

0 e V são invariantes por qualquer operador linear Tcolon Vto V.

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