Calcule T^19, sendo T: R^2 R^2, dado por T(x, y)=(x+3 y, 3 x+y).

Passo 1

O enunciado pede para calcular T^19, onde TcolonR^2toR^2 é a aplicação linear definida por
T(x,y) = (x + 3y,;3x + y)
Em termos de matrizes, vamos associar a T a matriz
A = 1 & 3[0.3em]3 & 1,
e então determinar A^19 por meio de diagonalização.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!1-lambda & 3[0.3em]3 & 1-lambda = (1-lambda)^2 - 9 = lambda^2 - 2lambda - 8
As raízes desse polinômio são
lambda1 = 4, lambda2 = -2
]

Passo 3

Encontramos agora vetores próprios. Para lambda1=4 resolvemos
(A - 4I)v = 0 ;Longrightarrow; -3 & 3[0.3em]3 & -3v = 0
o que dá, por exemplo, v1 = l(1,1r).
Para lambda2=-2 resolvemos
(A + 2I)v = 0 ;Longrightarrow; 3 & 3[0.3em]3 & 3v = 0
e obtemos v2 = l(1,-1r).]

Passo 4

Formamos a matriz de passagem
P = 1 & 1[0.3em]1 & -1,
cujo determinante é det P = -2, e portanto
P^-1 = 1-2 -1 & -1[0.3em]-1 & 1 = tfrac12 & tfrac12[0.3em]tfrac12 & -tfrac12
Como A = P,diag(4,,-2),P^-1, segue que
A^n = P 4^n & 0[0.3em]0 & (-2)^n P^-1 ]

Passo 5

Fazendo a multiplicação obtemos a fórmula em termos de n:
A^n = dfrac4^n + (-2)^n2 & dfrac4^n - (-2)^n2[0.6em] dfrac4^n - (-2)^n2 & dfrac4^n + (-2)^n2 ]

Passo 6

Substituímos n=19. Primeiro calculamos as potências:
4^19 = 2^38 = 274,877,906,944, (-2)^19 = -2^19 = -524,288
Então
4^19 + (-2)^192 = 274,877,906,944 - 524,2882 = 137,438,691,328,
4^19 - (-2)^192 = 274,877,906,944 + 524,2882 = 137,439,215,616

Passo 7

Concluímos que
A^19 = 137,438,691,328 & 137,439,215,616[0.3em] 137,439,215,616 & 137,438,691,328
Logo, para qualquer (x,y)inR^2,
T^19(x,y) = l(,137,438,691,328,x ;+;137,439,215,616,y,; 137,439,215,616,x ;+;137,438,691,328,yr) ]

Resposta

T^19(x,y) = l(137,438,691,328,x + 137,439,215,616,y,; 137,439,215,616,x + 137,438,691,328,yr)

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