Sejam e matrizes de ordem , sendo invertível.
Mostre que se então para todo .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando o fato de que é invertível, que as potências da matriz
são dadas por
para todo inteiro natural . O conteúdo aqui é o princípio de indução em Álgebra Linear, aplicando a propriedade de cancelamento de matrizes inversíveis.
Passo 2
Base da indução (). Observamos que
portanto a propriedade vale para .
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que, para algum , já tenhamos
Passo 4
Mostramos que a hipótese acima implica o caso . De fato,
Como é invertível, , então
Assim, a passagem do caso k para k+1 está completa.