Sejam A e M matrizes de ordem n times n, sendo M invertível.
Mostre que se B=M^-1 A M então B^k=M^-1 A^k M para todo k in N.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o fato de que M é invertível, que as potências da matriz
B = M^-1 A M
são dadas por
B^k = M^-1 A^k M,
para todo inteiro natural k. O conteúdo aqui é o princípio de indução em Álgebra Linear, aplicando a propriedade de cancelamento de matrizes inversíveis.

Passo 2

Base da indução ( k=1). Observamos que
B^1 = B = M^-1 A M = M^-1 A^1 M,
portanto a propriedade vale para k=1.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que, para algum kinN, já tenhamos
B^k = M^-1 A^k M

Passo 4

Mostramos que a hipótese acima implica o caso k+1. De fato,
B^k+1 = B^k ,B = l(M^-1 A^k Mr)l(M^-1 A Mr)
Como M é invertível, M,M^-1=In, então
B^k+1 = M^-1 A^k underbraceM,M^-1In A,M = M^-1 A^k+1 M
Assim, a passagem do caso k para k+1 está completa.

Resposta

Pela indução, concluímos que
boxedB^k = M^-1 A^k M para todo kinN

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