Calcule sendo f dada por
lim x p f(x)-f(p)x-p, onde f(x)=1x^2

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a derivada de f(x)=1x^2 no ponto x=p usando a definição
f'(p)=limxto pf(x)-f(p)x-p
Vamos aplicar essa definição, fazendo simplificações algébricas em frações e fatorações.

Passo 2

Substituindo f(x)=1x^2 e f(p)=1p^2 na definição, obtemos
limxto p1x^2-1p^2x-p

Passo 3

Primeiro, vamos colocar a diferença de frações sobre um único denominador:
1x^2-1p^2 =p^2-x^2x^2p^2
Assim o quociente vira
p^2-x^2,x^2p^2,(x-p)

Passo 4

Agora fatoramos p^2-x^2=(p-x)(p+x) e simplificamos com (x-p):
(p-x)(p+x)x^2p^2(x-p) =-(p+x)x^2p^2

Passo 5

Por fim, fazemos xto p em -(p+x)x^2p^2:
limxto p-(p+x)x^2p^2 =-(p+p)p^2p^2 =-2pp^4 =-2p^3

Resposta

-2p^3

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