Calcule as seguintes integrais:
integral sen^2 2 x cos ^2 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sin^2(2x),cos^2(3x),dx
O conteúdo principal aqui é usar identidades de redução de potência para transformar o produto de potências de senos e cossenos em soma de cossenos, e então integrar termo a termo.

Passo 2

Aplicamos as identidades de redução de potência:
sin^2(2x)=1-cos(4x)2, cos^2(3x)=1+cos(6x)2
Logo,
sin^2(2x),cos^2(3x) =1-cos(4x)2;1+cos(6x)2 =14l(1+cos(6x)-cos(4x)-cos(4x)cos(6x)r)

Passo 3

Para eliminar o produto cos(4x)cos(6x), usamos
cos Acos B =cos(A+B)+cos(A-B)2
Com A=4x e B=6x vem
cos(4x)cos(6x) =cos(10x)+cos(-2x)2 =cos(10x)+cos(2x)2

Passo 4

Substituindo de volta em sin^2(2x)cos^2(3x) e agrupando termos:
sin^2(2x)cos^2(3x) =14l(1+cos(6x)-cos(4x) -tfrac12l(cos(10x)+cos(2x)r)r)
=14 -14cos(4x) +14cos(6x) -18cos(10x) -18cos(2x)

Passo 5

Agora integramos termo a termo, lembrando que
integralcos(kx),dx=sin(kx)k.
integralsin^2(2x)cos^2(3x),dx =integrall(tfrac14 -tfrac14cos(4x) +tfrac14cos(6x) -tfrac18cos(10x) -tfrac18cos(2x)r),dx

Passo 6

Fazendo cada integral:
integral tfrac14,dx=x4, integral -tfrac14cos(4x),dx=-tfrac14,sin(4x)4=-sin(4x)16,
integral tfrac14cos(6x),dx=tfrac14,sin(6x)6=sin(6x)24,
integral -tfrac18cos(10x),dx=-tfrac18,sin(10x)10=-sin(10x)80,
integral -tfrac18cos(2x),dx=-tfrac18,sin(2x)2=-sin(2x)16

Resposta

integral sin^2(2x)cos^2(3x),dx =x4 -sin(4x)16 +sin(6x)24 -sin(10x)80 -sin(2x)16 + C

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