Calcule as seguintes integrais:
integral sec ^5 3 x tan 3 x d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral sec^5(3x),tan(3x),dx.
O conteúdo a usar é a técnica de substituição, pois percebemos que sec(3x)tan(3x) aparece como derivada de sec(3x).

Passo 2

Fazemos a substituição
,u=sec(3x).
Como
ddxl(sec(3x)r)=3sec(3x)tan(3x),
temos
du = 3sec(3x)tan(3x),dx Longrightarrow sec(3x)tan(3x),dx = du3

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, observamos que
sec^5(3x),tan(3x),dx =sec^4(3x),l[sec(3x)tan(3x),dxr]
e, como sec(3x)=u, isto vira
integral sec^4(3x),l[sec(3x)tan(3x),dxr] = integral u^4;du3 = 13integral u^4,du

Passo 4

Agora integramos 13!integral u^4,du.
Sabemos que
integral u^4,du = u^55,
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13integral u^4,du = 13cdotu^55 = u^515 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original ( u=sec(3x)), obtemos
sec^5(3x)15 + C

Resposta

integral sec^5(3x),tan(3x),dx = sec^5(3x)15 + C

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