Calcule partial fpartial u(x0, y0), sendo dados:
f(x, y)=arctan xy,(x0, y0)=(3,3) e u=(1raiz2, 1raiz2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=arctan!l(tfracxyr)
no ponto (x0,y0)=(3,3) na direção do vetor unitário
u=l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)
Para isso, vamos usar o fato de que a derivada direcional em u é dado por
Duf(x0,y0)=nabla f(x0,y0)cdot u,
onde nabla f=(partial f/partial x,;partial f/partial y) é o gradiente de f.

Passo 2

Calculamos partial f/partial x usando a regra da cadeia. Defina v=x/y, então
f(x,y)=arctan(v),
com
partial fpartial x =11+v^2;partial vpartial x =11+(x/y)^2;1y
Como
1+(x/y)^2=y^2+x^2y^2,
temos
11+(x/y)^2 =y^2x^2+y^2,
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partial fpartial x =y^2x^2+y^2;1y =yx^2+y^2

Passo 3

Agora partial f/partial y. Ainda com v=x/y,
partial fpartial y =11+v^2;partial partial yl(tfracxyr) =11+(x/y)^2;l(-tfracxy^2r)
Usando de novo tfrac11+(x/y)^2=tfracy^2x^2+y^2, vem
partial fpartial y =y^2x^2+y^2;l(-tfracxy^2r) =-xx^2+y^2

Passo 4

Formamos o gradiente e avaliamos em (3,3). Como x^2+y^2=9+9=18,
nabla f(3,3) =l(yx^2+y^2,,-xx^2+y^2r)|(3,3) =l(tfrac318,,-tfrac318r) =l(tfrac16,,-tfrac16r)

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar
Duf(3,3) =nabla f(3,3)cdot u =l(tfrac16,-tfrac16r)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) =16raiz2-16raiz2 =0

Resposta

partial fpartial u(3,3)=0

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