Determine uma parametrização para a superfície abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
O plano ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma parametrização para o plano dado pela equação . Isso significa que vamos expressar as coordenadas , e em termos de dois parâmetros, geralmente chamados de e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher dois das três variáveis para serem nossos parâmetros. Normalmente, é mais fácil escolher e como parâmetros. Vamos chamar:
Aqui, e são os parâmetros que vão variar livremente.
Passo 3
Agora, precisamos expressar em termos de e . Para isso, vamos reorganizar a equação do plano para resolver :
Substituindo e por e :
Resolvendo para :
Passo 4
Agora que temos todas as coordenadas em termos de [u) e , podemos escrever a parametrização completa do plano:
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser encontrado substituindo valores para .
Passo 5
Por último, vamos definir o domínio dos parâmetros. Como u e v podem variar livremente para cobrir todo o plano, o domínio é: