Determine uma parametrização para a superfície abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
O plano 2x-y-3z=5;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma parametrização para o plano dado pela equação 2x - y - 3z = 5. Isso significa que vamos expressar as coordenadas x, y e z em termos de dois parâmetros, geralmente chamados de u e v. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher dois das três variáveis para serem nossos parâmetros. Normalmente, é mais fácil escolher x e y como parâmetros. Vamos chamar:
x = u e y = v
Aqui, u e v são os parâmetros que vão variar livremente.

Passo 3

Agora, precisamos expressar z em termos de u e v. Para isso, vamos reorganizar a equação do plano para resolver z:
2x - y - 3z = 5
Substituindo x e y por u e v:
2u - v - 3z = 5
Resolvendo para z:
-3z = 5 - 2u + v z = 2u - v - 53

Passo 4

Agora que temos todas as coordenadas em termos de [u) e , podemos escrever a parametrização completa do plano:
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser encontrado substituindo valores para .

Passo 5

Por último, vamos definir o domínio dos parâmetros. Como u e v podem variar livremente para cobrir todo o plano, o domínio é:
u in R e v in R
Ou seja, u e v podem ser qualquer número real.

Resposta

A parametrização do plano é:
x = u y = v z = dfrac2u - v - 53
com u in R e v in R.

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