Determine uma parametrização para a superfície abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
O paraboloide ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma parametrização para a superfície representada pelo paraboloide . Isso significa que queremos expressar as coordenadas , e em função de dois parâmetros, que normalmente chamamos de e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma parametrização e como usamos parâmetros para descrever uma superfície no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher os parâmetros. Uma estratégia comum é deixar dois dos três eixos livres, ou seja, escolher dois parâmetros para representar duas das coordenadas. No nosso caso, podemos escolher para representar e para representar .
Passo 3
Com e , agora precisamos expressar em termos desses parâmetros. A equação do paraboloide é . Substituindo por , ficamos com:
Passo 4
Agora, juntando tudo, conseguimos escrever as três coordenadas , e em termos de e :
Passo 5
Por fim, precisamos definir o domínio dos parâmetros u e v . Como não há restrições na equação original do paraboloide, os parâmetros podem assumir qualquer valor real. Ou seja:
u, v in R
Resposta
A parametrização para o paraboloide y = 9z^2 é dada por: