Determine uma parametrização para a superfície abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
O paraboloide y=9z^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma parametrização para a superfície representada pelo paraboloide y = 9z^2 . Isso significa que queremos expressar as coordenadas x , y e z em função de dois parâmetros, que normalmente chamamos de u e v . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma parametrização e como usamos parâmetros para descrever uma superfície no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os parâmetros. Uma estratégia comum é deixar dois dos três eixos livres, ou seja, escolher dois parâmetros para representar duas das coordenadas. No nosso caso, podemos escolher u para representar x e v para representar z .

Passo 3

Com u = x e v = z , agora precisamos expressar y em termos desses parâmetros. A equação do paraboloide é y = 9z^2 . Substituindo z por v , ficamos com:
y = 9v^2

Passo 4

Agora, juntando tudo, conseguimos escrever as três coordenadas x , y e z em termos de u e v :
x = u y = 9v^2 z = v

Passo 5

Por fim, precisamos definir o domínio dos parâmetros u e v . Como não há restrições na equação original do paraboloide, os parâmetros podem assumir qualquer valor real. Ou seja:
u, v in R

Resposta

A parametrização para o paraboloide y = 9z^2 é dada por:
r(u, v) = (u, 9v^2, v)
com o domínio dos parâmetros sendo:
u, v in R

Exercícios relacionados