Em um cultivo de bactérias observou-se a presença de um número
de famílias de bactérias. Após 1 hora havía 1000 famílias de bactérias e após 4 horas, 3000 famílias de bactérias.
Determine o número de famílias de bactérias que havia originalmente no cultivo. (Resp.: 693 famílias).
Determine o número de famílias de bactérias que havia originalmente no cultivo. (Resp.: 693 famílias).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre o crescimento de famílias de bactérias ao longo do tempo. A gente precisa descobrir quantas famílias havia originalmente no cultivo, utilizando informações de quantas famílias existiam após 1 hora e após 4 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de crescimento exponencial, que é quando algo cresce a uma taxa proporcional ao tamanho atual.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é crescimento exponencial. É quando a quantidade aumenta multiplicando por um fator constante em intervalos de tempo iguais. A fórmula geral para isso é:
Aqui,
é o número de famílias no tempo
,
é o número inicial de famílias,
é a base dos logaritmos naturais, e
é a taxa de crescimento.
Passo 3
Vamos chamar o número inicial de famílias de
. Sabemos que após 1 hora, há 1000 famílias, então podemos escrever:
E após 4 horas, há 3000 famílias:
Passo 4
Agora, temos duas equações:
Podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar
:
Passo 5
Para encontrar
, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 6
Agora que temos
, podemos substituir de volta na primeira equação para encontrar
:
Sabendo que
, podemos simplificar:
Então:
Passo 7
Calculando
, que é a raiz cúbica de 3 aproximadamente igual a 1,44225:
Resposta
693 famílias.