Em um cultivo de bactérias observou-se a presença de um número x de famílias de bactérias. Após 1 hora havía 1000 famílias de bactérias e após 4 horas, 3000 famílias de bactérias.
Determine o número de famílias de bactérias que havia originalmente no cultivo. (Resp.: 693 famílias).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre o crescimento de famílias de bactérias ao longo do tempo. A gente precisa descobrir quantas famílias havia originalmente no cultivo, utilizando informações de quantas famílias existiam após 1 hora e após 4 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de crescimento exponencial, que é quando algo cresce a uma taxa proporcional ao tamanho atual.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é crescimento exponencial. É quando a quantidade aumenta multiplicando por um fator constante em intervalos de tempo iguais. A fórmula geral para isso é:
N(t) = N0 times e^kt
Aqui, N(t) é o número de famílias no tempo t , N0 é o número inicial de famílias, e é a base dos logaritmos naturais, e k é a taxa de crescimento.

Passo 3

Vamos chamar o número inicial de famílias de x . Sabemos que após 1 hora, há 1000 famílias, então podemos escrever:
1000 = x times e^k times 1
1000 = x times e^k
E após 4 horas, há 3000 famílias:
3000 = x times e^k times 4
3000 = x times e^4k

Passo 4

Agora, temos duas equações:
  1. 1000 = x times e^k
  2. 3000 = x times e^4k
Podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar x :
30001000 = x times e^4kx times e^k
3 = e^3k

Passo 5

Para encontrar k , vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
ln(3) = 3k
k = ln(3)3

Passo 6

Agora que temos k , podemos substituir de volta na primeira equação para encontrar x :
1000 = x times e^ln(3)3
Sabendo que e^ln(a) = a , podemos simplificar:
e^ln(3)3 = 3^13
Então:
1000 = x times 3^13
x = 10003^13

Passo 7

Calculando 3^13 , que é a raiz cúbica de 3 aproximadamente igual a 1,44225:
x approx 10001,44225
x approx 693

Resposta

693 famílias.

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