Logo \det(A)=1. Isso sugere que A é uma matriz com comportamento semelhante a uma rotação (pois matrizes de rotação têm determinante 1), embora as entradas estejam “escaladas” por p. Essa observação motiva tentar reduzir A por conjugação a uma matriz de rotação pura.
Passo 3
Escolha do método: conjugação que transforma A numa matriz de rotação.
A ideia é encontrar uma matriz diagonal D tal que D^{-1} A D seja a matriz de rotação clássica
D^{-1} A D = \begin{pmatrix}\cos\theta & \operatorname{sen}\theta \\[4pt] -\operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{pmatrix}=R(\theta).]
Passo 5
Propriedade de conjugação que permite elevar A à potência m.
Se A = D\,R(\theta)\,D^{-1}, então
A^{m}=(D\,R(\theta)\,D^{-1})^{m}.
Usando a propriedade de conjugação e associatividade do produto matricial, os fatores D^{-1}D internos se cancelam em cadeias, dando
A^{m}=D\,R(\theta)^{m}\,D^{-1}.
Explicação curta do porquê: por exemplo A^{2}=D R D^{-1} D R D^{-1}=D R^{2} D^{-1}. Iterando, chega-se a D R^{m} D^{-1}. Essa é uma propriedade básica: potências preservam-se por conjugação.
Passo 6
Cálculo de R(\theta)^{m}.
A matriz R(\theta) é a matriz de rotação no plano; tem a propriedade bem conhecida (pode-se ver via números complexos ou indução) de que
Raciocínio rápido (intuitivo): rotacionar por \thetam vezes é rotacionar por m\theta. Formalmente, prova-se por indução em m ou usando a representação R(\theta) ↔ multiplicação por e^{i\theta} em números complexos.]
Passo 7
Reconstituir A^{m}=D\,R(m\theta)\,D^{-1} e efetuar a multiplicação para obter a expressão final.
Comentários finais, verificação rápida e encorajamento.
O resultado tem a mesma forma da matriz original, só que com \theta substituído por m\theta. Isso permite memorizar: quando uma matriz é conjugada a uma rotação, suas potências apenas multiplicam o ângulo.
Observação: a demonstração vale para qualquer inteiro m\ge 0 por indução; para m negativo requer inverter A (que existe pois \det A=1), e o padrão também se mantém com m inteiro (inclusive negativos), mas o enunciado pediu m\ge 2.
Força aí! Se quiser, faço também uma demonstração por indução direta sobre m para praticar as manipulações matriciais.