Calcule \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & p \operatorname{sen} \theta \\\ \frac{-1}{p} \operatorname{sen} \theta & \cos \theta\end{array}\right)^{m} \quad \forall m \geqslant 2 \wedge m \in \mathbb{Z}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pede-se calcular a potência da matriz
A=\begin{pmatrix}\cos\theta & p\,\operatorname{sen}\theta \\[4pt] -\dfrac{1}{p}\,\operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{pmatrix}
para todo m\in\mathbb{Z} com m\ge 2.
  • Dados relevantes (retirados diretamente do enunciado):
    • a entrada superior direita é p\,\operatorname{sen}\theta;
    • a entrada inferior esquerda é -\dfrac{1}{p}\,\operatorname{sen}\theta;
    • p é um parâmetro (assume-se p\neq 0);
    • \theta é um ângulo qualquer.
  • Objetivo final: obter uma expressão fechada para A^{m} (a matriz A elevada a m), escrita explicitamente em termos de p, \theta e m.]

Passo 2

Observação inicial e pista útil.
  • Calculo do determinante de A:
\det(A)=\cos\theta\cdot\cos\theta-\left(p\,\operatorname{sen}\theta\right)\left(-\dfrac{1}{p}\,\operatorname{sen}\theta\right) =\cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta=1.
Logo \det(A)=1. Isso sugere que A é uma matriz com comportamento semelhante a uma rotação (pois matrizes de rotação têm determinante 1), embora as entradas estejam “escaladas” por p. Essa observação motiva tentar reduzir A por conjugação a uma matriz de rotação pura.

Passo 3

Escolha do método: conjugação que transforma A numa matriz de rotação.
  • A ideia é encontrar uma matriz diagonal D tal que D^{-1} A D seja a matriz de rotação clássica
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & \operatorname{sen}\theta \\[4pt] -\operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
  • Tomamos
D=\begin{pmatrix}\sqrt{p} & 0 \\[4pt] 0 & \dfrac{1}{\sqrt{p}}\end{pmatrix}, \qquad D^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{p}} & 0 \\[4pt] 0 & \sqrt{p}\end{pmatrix}.
(Escolhemos D diagonal porque essas matrizes escalam as coordenadas de forma simples e costumam eliminar fatores p nas posições fora da diagonal.)]

Passo 4

Verificação direta de que D^{-1} A D = R(\theta).
  • Primeiro calcule D^{-1}A:
D^{-1}A= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{p}} & 0 \\[4pt] 0 & \sqrt{p}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\theta & p\,\operatorname{sen}\theta \\[6pt] -\dfrac{1}{p}\,\operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{\cos\theta}{\sqrt{p}} & \sqrt{p}\,\operatorname{sen}\theta \\[6pt] -\dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\sqrt{p}} & \sqrt{p}\cos\theta\end{pmatrix}.
  • Agora multiplica-se à direita por D:
D^{-1} A D = \begin{pmatrix}\dfrac{\cos\theta}{\sqrt{p}} & \sqrt{p}\,\operatorname{sen}\theta \\[6pt] -\dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\sqrt{p}} & \sqrt{p}\cos\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sqrt{p} & 0 \\[4pt] 0 & \dfrac{1}{\sqrt{p}}\end{pmatrix}.
  • Fazendo a multiplicação de matrizes (produto linha × coluna), obtemos:
    • entrada (1,1): \dfrac{\cos\theta}{\sqrt{p}}\cdot\sqrt{p}=\cos\theta;
    • entrada (1,2): \sqrt{p}\,\operatorname{sen}\theta\cdot\dfrac{1}{\sqrt{p}}=\operatorname{sen}\theta;
    • entrada (2,1): -\dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\sqrt{p}}\cdot\sqrt{p}=-\operatorname{sen}\theta;
    • entrada (2,2): \sqrt{p}\cos\theta\cdot\dfrac{1}{\sqrt{p}}=\cos\theta.
  • Portanto
D^{-1} A D = \begin{pmatrix}\cos\theta & \operatorname{sen}\theta \\[4pt] -\operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{pmatrix}=R(\theta).]

Passo 5

Propriedade de conjugação que permite elevar A à potência m.
  • Se A = D\,R(\theta)\,D^{-1}, então
A^{m}=(D\,R(\theta)\,D^{-1})^{m}.
  • Usando a propriedade de conjugação e associatividade do produto matricial, os fatores D^{-1}D internos se cancelam em cadeias, dando
A^{m}=D\,R(\theta)^{m}\,D^{-1}.
  • Explicação curta do porquê: por exemplo A^{2}=D R D^{-1} D R D^{-1}=D R^{2} D^{-1}. Iterando, chega-se a D R^{m} D^{-1}. Essa é uma propriedade básica: potências preservam-se por conjugação.

Passo 6

Cálculo de R(\theta)^{m}.
  • A matriz R(\theta) é a matriz de rotação no plano; tem a propriedade bem conhecida (pode-se ver via números complexos ou indução) de que
R(\theta)^{m}=R(m\theta)=\begin{pmatrix}\cos(m\theta) & \operatorname{sen}(m\theta) \\[4pt] -\operatorname{sen}(m\theta) & \cos(m\theta)\end{pmatrix}.
  • Raciocínio rápido (intuitivo): rotacionar por \theta m vezes é rotacionar por m\theta. Formalmente, prova-se por indução em m ou usando a representação R(\theta) ↔ multiplicação por e^{i\theta} em números complexos.]

Passo 7

Reconstituir A^{m}=D\,R(m\theta)\,D^{-1} e efetuar a multiplicação para obter a expressão final.
  • Escrevendo
A^{m}=D\,R(m\theta)\,D^{-1}= \begin{pmatrix}\sqrt{p} & 0 \\[4pt] 0 & \dfrac{1}{\sqrt{p}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos(m\theta) & \operatorname{sen}(m\theta) \\[6pt] -\operatorname{sen}(m\theta) & \cos(m\theta)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{p}} & 0 \\[4pt] 0 & \sqrt{p}\end{pmatrix}.
  • Primeiro calcule D\,R(m\theta):
D\,R(m\theta)= \begin{pmatrix}\sqrt{p}\cos(m\theta) & \sqrt{p}\operatorname{sen}(m\theta) \\[6pt] -\dfrac{\operatorname{sen}(m\theta)}{\sqrt{p}} & \dfrac{\cos(m\theta)}{\sqrt{p}}\end{pmatrix}.
  • Multiplicando por D^{-1} à direita, obtemos as entradas finais (novamente linha × coluna):
    • entrada (1,1): \sqrt{p}\cos(m\theta)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{p}}=\cos(m\theta);
    • entrada (1,2): \sqrt{p}\operatorname{sen}(m\theta)\cdot\sqrt{p}=p\,\operatorname{sen}(m\theta);
    • entrada (2,1): -\dfrac{\operatorname{sen}(m\theta)}{\sqrt{p}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{p}}=-\dfrac{1}{p}\,\operatorname{sen}(m\theta);
    • entrada (2,2): \dfrac{\cos(m\theta)}{\sqrt{p}}\cdot\sqrt{p}=\cos(m\theta).
  • Assim,
A^{m}=\begin{pmatrix}\cos(m\theta) & p\,\operatorname{sen}(m\theta) \\[6pt] -\dfrac{1}{p}\,\operatorname{sen}(m\theta) & \cos(m\theta)\end{pmatrix}.]

Passo 8

Comentários finais, verificação rápida e encorajamento.
  • O resultado tem a mesma forma da matriz original, só que com \theta substituído por m\theta. Isso permite memorizar: quando uma matriz é conjugada a uma rotação, suas potências apenas multiplicam o ângulo.
  • Observação: a demonstração vale para qualquer inteiro m\ge 0 por indução; para m negativo requer inverter A (que existe pois \det A=1), e o padrão também se mantém com m inteiro (inclusive negativos), mas o enunciado pediu m\ge 2.
  • Força aí! Se quiser, faço também uma demonstração por indução direta sobre m para praticar as manipulações matriciais.

Resposta

A^{m}=\begin{pmatrix}\cos(m\theta) & p\,\operatorname{sen}(m\theta) \\[6pt] -\dfrac{1}{p}\,\operatorname{sen}(m\theta) & \cos(m\theta)\end{pmatrix}]

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