Calcule A^{-1}, sendo A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular A^{-1}, onde a matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Informações fornecidas:
  • A matriz A é 3 por 3 com entradas explicitadas acima.
  • A tarefa é encontrar a matriz inversa A^{-1}, isto é, a matriz que satisfaz A A^{-1}=I, sendo I a matriz identidade 3\times3.]

Passo 2

Escolha do método e explicação pedagógica breve (sem jargões):
  • Antes de tentar inverter, é preciso verificar se A é invertível. Uma maneira prática é calcular o determinante; se \det(A)\neq0, então A é invertível.
  • Para obter A^{-1} de forma algoritmica e que dá para fazer à mão na prova, eu vou usar eliminação de Gauss-Jordan: montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares de linha até obter [I\mid A^{-1}].
  • Operações elementares de linha permitidas: trocar duas linhas; multiplicar uma linha por um escalar não-nulo; somar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares, que preservam a relação para achar a inversa.

Passo 3

Calcular \det(A) para checar invertibilidade. Vou usar desenvolvimento por cofactores na primeira linha:
\det(A)= 1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-1\cdot1=6-1=5,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}=0\cdot3-1\cdot2=0-2=-2,
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-2\cdot2=0-4=-4.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot5 -1\cdot(-2) +3\cdot(-4)=5+2-12= -5.]

Passo 4

Conclusão sobre invertibilidade:
  • Como \det(A)=-5\neq0, a matriz A é invertível. Podemos prosseguir com Gauss-Jordan para encontrar A^{-1}.

Passo 5

Montar a matriz aumentada [A\mid I]. Escrevo as linhas iniciais:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Objetivo: transformar a parte esquerda em I_3 usando operações de linha; a parte direita resultará em A^{-1}.]

Passo 6

Eliminar o elemento 2 na posição (3,1) usando a linha 1. Faço R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
Cálculo da nova R_3:
  • Colunas esquerdas: [2,1,3] - 2\cdot[1,1,3] = [2-2,\,1-2,\,3-6]=[0,-1,-3].
  • Colunas direitas: [0,0,1] - 2\cdot[1,0,0]=[0-2,\,0-0,\,1-0]=[-2,0,1].
    Matriz atual:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -3 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Tornar o pivô da segunda linha igual a 1 para facilitar: R_2 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_2.
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & -1 & -3 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 8

Eliminar os outros elementos da coluna 2 usando a nova R_2.
  • Para zerar em (1,2): R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
    Cálculo R_1: colunas esquerdas [1,1,3]-[0,1,\tfrac{1}{2}]=[1,0,\tfrac{5}{2}].
    Colunas direitas [1,0,0]-[0,\tfrac{1}{2},0]=[1,-\tfrac{1}{2},0].
  • Para zerar em (3,2): R_3 \leftarrow R_3 + R_2 (pois R_3 tem -1 na coluna 2).
    Cálculo R_3: colunas esquerdas [0,-1,-3]+[0,1,\tfrac{1}{2}]=[0,0,-\tfrac{5}{2}].
    Colunas direitas [-2,0,1]+[0,\tfrac{1}{2},0]=[-2,\tfrac{1}{2},1].
    Matriz agora:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{5}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] 0 & 0 & -\tfrac{5}{2} & -2 & \tfrac{1}{2} & 1 \end{array}\right].]

Passo 9

Normalizar a terceira linha para que o pivô em (3,3) seja 1. Como ali está -\tfrac{5}{2}, multiplico R_3 por -\tfrac{2}{5}:
  • Esquerda: -\tfrac{5}{2}\cdot(-\tfrac{2}{5})=1.
  • Direita: -2\cdot(-\tfrac{2}{5})=\tfrac{4}{5}, \tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{2}{5})=-\tfrac{1}{5}, 1\cdot(-\tfrac{2}{5})=-\tfrac{2}{5}.
    Nova R_3:
\left[0\;0\;1\;\big|\;\tfrac{4}{5}\;-\tfrac{1}{5}\;-\tfrac{2}{5}\right].
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{5}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{4}{5} & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5} \end{array}\right].]

Passo 10

Eliminar as entradas acima do pivô em (3,3):
  • Para R_1: R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{5}{2}R_3.
    Calcule a parte direita: \begin{aligned} &1 - \tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{4}{5} = 1 - 2 = -1,\\[4pt] &-\tfrac{1}{2} - \tfrac{5}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{5}\right) = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 0,\\[4pt] &0 - \tfrac{5}{2}\cdot\left(-\tfrac{2}{5}\right) = 0 + 1 = 1. \end{aligned}Assim R_1 passa a ser [1\;0\;0\mid -1\;0\;1].
  • Para R_2: R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{1}{2}R_3.
    Calcule a parte direita: \begin{aligned} &0 - \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{4}{5} = -\tfrac{2}{5},\\[4pt] &\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{5}\right) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{10} = \tfrac{3}{5},\\[4pt] &0 - \tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{2}{5}\right) = \tfrac{1}{5}. \end{aligned}Assim R_2 passa a ser [0\;1\;0\mid -\tfrac{2}{5}\;\tfrac{3}{5}\;\tfrac{1}{5}].
    Depois dessas eliminações, a matriz aumentada ficou:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{4}{5} & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5} \end{array}\right].]

Passo 11

Agora a parte esquerda é a identidade, logo a parte direita é A^{-1}. Ou seja,
A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\[4pt] -\tfrac{2}{5} & \tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{4}{5} & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}.
Pequena nota de motivação: deu um pouco de frações no caminho, mas todas as operações foram só combinações lineares de linhas — método direto para prova.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\[4pt] -\tfrac{2}{5} & \tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{4}{5} & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}]

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