Dada a matriz B abaixo, calcule \operatorname{det}(B). A matriz B é inversível?
B=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 4 & 1 & -2 \\\\ 5 & 4 & 1 & 4 \\\\ 0 & 1 & 2 & 2 \\\\ 3 & -1 & -2 & 4 \end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular \det(B).
  • Dizer se a matriz B é inversível (ou seja, se tem inversa).
Informações dadas (peguei todos estes números do enunciado):
B=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & -2 \\\\ 5 & 4 & 1 & 4 \\\\ 0 & 1 & 2 & 2 \\\\ 3 & -1 & -2 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática):
  • Vou usar a expansão de Laplace (expansão por cofatores) ao longo da primeira coluna. É uma boa escolha quando há zeros nessa coluna (aqui \,b_{31}=0), porque isso reduz o trabalho.
  • Fórmula de expansão pela primeira coluna: \det(B)=\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+1}\,b_{i1}\,\det(M_{i1}),
onde b_{i1} é o elemento da primeira coluna na linha i e M_{i1} é a matriz 3\times3 obtida eliminando a linha i e a coluna 1.
  • O fator de sinal (-1)^{i+1} alterna os sinais conforme a posição (padrão +,-,+,- na primeira coluna).

Passo 3

Calcular o cofator relacionado a b_{11}=2:
  • O menor M_{11} (removendo linha 1 e coluna 1) é
M_{11}=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 4 \\\\ 1 & 2 & 2 \\\\ -1 & -2 & 4 \end{pmatrix}.
  • Calcular \det(M_{11}) usando expansão pela primeira linha (fórmula de Sarrus/expansão de 3\times3):
\det(M_{11}) = 4\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 2\\\\ -2 & 4\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -1 & 4\end{pmatrix} +4\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -1 & -2\end{pmatrix}.
  • Calcular os determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2 & 2\\\\ -2 & 4\end{pmatrix} = 2\cdot4 - 2\cdot(-2) = 8 + 4 = 12,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -1 & 4\end{pmatrix} = 1\cdot4 - 2\cdot(-1) = 4 + 2 = 6,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -1 & -2\end{pmatrix} = 1\cdot(-2) - 2\cdot(-1) = -2 + 2 = 0.
  • Logo
\det(M_{11}) = 4\cdot 12 - 1\cdot 6 + 4\cdot 0 = 48 - 6 + 0 = 42.

Passo 4

Calcular o cofator relacionado a b_{21}=5:
  • O menor M_{21} (removendo linha 2 e coluna 1) é
M_{21}=\begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 \\\\ 1 & 2 & 2 \\\\ -1 & -2 & 4 \end{pmatrix}.
  • Calcular \det(M_{21}) pela primeira linha:
\det(M_{21}) = 4\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 2\\\\ -2 & 4\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -1 & 4\end{pmatrix} +(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -1 & -2\end{pmatrix}.
  • Já calculamos os 2\times2 correspondentes no passo anterior: são 12,\;6,\;0 respectivamente. Portanto
\det(M_{21}) = 4\cdot 12 - 1\cdot 6 + (-2)\cdot 0 = 48 - 6 + 0 = 42.

Passo 5

Observação sobre b_{31}=0:
  • O elemento b_{31}=0. Na expansão de Laplace, o termo correspondente é (-1)^{3+1} b_{31}\det(M_{31}), mas como b_{31}=0 esse termo contribui com 0. Assim não precisamos calcular M_{31}.

Passo 6

Calcular o cofator relacionado a b_{41}=3:
  • O menor M_{41} (removendo linha 4 e coluna 1) é
M_{41}=\begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 \\\\ 4 & 1 & 4 \\\\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
  • Calcular \det(M_{41}) pela primeira linha:
\det(M_{41}) = 4\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\\ 2 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 4\\\\ 1 & 2\end{pmatrix} +(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 1\\\\ 1 & 2\end{pmatrix}.
  • Calcular os 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\\ 2 & 2\end{pmatrix} = 1\cdot2 - 4\cdot2 = 2 - 8 = -6,
\det\begin{pmatrix}4 & 4\\\\ 1 & 2\end{pmatrix} = 4\cdot2 - 4\cdot1 = 8 - 4 = 4,
\det\begin{pmatrix}4 & 1\\\\ 1 & 2\end{pmatrix} = 4\cdot2 - 1\cdot1 = 8 - 1 = 7.
  • Portanto
\det(M_{41}) = 4\cdot(-6) - 1\cdot 4 + (-2)\cdot 7 = -24 - 4 - 14 = -42.

Passo 7

Montar a expansão total pela primeira coluna e somar os termos:
  • A expansão é
\det(B)= (+1)\cdot b_{11}\det(M_{11}) + (-1)\cdot b_{21}\det(M_{21}) + (+1)\cdot b_{31}\det(M_{31}) + (-1)\cdot b_{41}\det(M_{41}).
  • Substituindo os valores encontrados ( b_{11}=2,\\ \det(M_{11})=42;\; b_{21}=5,\\ \det(M_{21})=42;\; b_{31}=0;\; b_{41}=3,\\ \det(M_{41})=-42):
\det(B)=2\cdot 42 - 5\cdot 42 + 0\cdot(\cdot) - 3\cdot(-42).
  • Calcular cada termo:
2\cdot 42 = 84,\qquad -5\cdot 42 = -210,\qquad -3\cdot(-42)=+126.
  • Somando:
84 - 210 + 126 = 0.

Passo 8

Conclusão lógica (didática):
  • Obtivemos \det(B)=0. Lembre que uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Portanto, como \det(B)=0, a matriz B não é inversível (é singular).
  • Se quiser checar rapidamente no futuro: determinante zero significa que as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes — há combinação linear não trivial entre elas.

Resposta

\det(B)=0
B não é inversível.

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