Seja k \in \mathbb{R} um número real qualquer e considere a matriz
C_{k}=\left(\begin{array}{ccc} -4 & 3 & 2 \\\\ 5 & -4 & 0 \\\\ 2 & -1 & k+2 \end{array}\right) .
(a) Calcule (em função de k \in \mathbb{R} ) o determinante da matriz C_{k}.
(b) Diga sob que condições a matriz C_{k} pode ser decomposta como um produto de matrizes elementares. Para quais valores de k isso ocorre?

Passo 1

O enunciado fornece a matriz C_{k} dependente de k\in\mathbb{R}:
C_{k}=\begin{pmatrix} -4 & 3 & 2 \\\\ 5 & -4 & 0 \\\\ 2 & -1 & k+2 \end{pmatrix}.
As perguntas são:
  1. (a) Calcular, em função de k, o determinante de C_{k}.
  2. (b) Dizer sob que condições C_{k} pode ser decomposta como produto de matrizes elementares e para quais valores de k isso ocorre.

Passo 2

Vamos calcular o determinante de C_{k}. Uma forma direta e elementar é usar a expansão de Laplace (cofatores) por uma linha ou coluna. Aqui escolho expandir pela segunda linha (5,\,-4,\,0) porque tem um zero, o que simplifica contas.
Lembrete rápido sobre expansão de Laplace: para uma matriz 3\times3,
\det(A)=a_{21}(-1)^{2+1}\det(M_{21})+a_{22}(-1)^{2+2}\det(M_{22})+a_{23}(-1)^{2+3}\det(M_{23}),
onde a_{2j} são os elementos da segunda linha e M_{2j} os menores obtidos removendo a linha 2 e a coluna j.

Passo 3

Aplicando a expansão de Laplace pela segunda linha em C_{k}:
Os elementos da segunda linha são a_{21}=5, a_{22}=-4, a_{23}=0.
  • Para a_{21}=5: o sinal é (-1)^{2+1}=-1 e o menor M_{21} é a submatriz obtida removendo linha 2 e coluna 1:
M_{21}=\begin{pmatrix}3 & 2 \\\\ -1 & k+2\end{pmatrix}.
Seu determinante é \det(M_{21})=3\,(k+2)-2\,(-1)=3k+6+2=3k+8.
Assim a contribuição é 5\cdot(-1)\cdot(3k+8)=-5(3k+8).
  • Para a_{22}=-4: o sinal é (-1)^{2+2}=+1 e o menor M_{22} é
M_{22}=\begin{pmatrix}-4 & 2 \\\\ 2 & k+2\end{pmatrix}.
Seu determinante é \det(M_{22})=(-4)(k+2)-2\cdot2=-4k-8-4=-4k-12.
A contribuição é (-4)\cdot(+1)\cdot(-4k-12)=(-4)(-4k-12)=16k+48.
  • Para a_{23}=0: a contribuição é zero, pois 0 vezes qualquer coisa é 0.
Somando as contribuições:
\det(C_{k}) = -5(3k+8) + (16k+48).

Passo 4

Fazendo as operações algébricas:
-5(3k+8) + (16k+48) = (-15k-40)+(16k+48) = k+8.
Portanto
\det(C_{k})=k+8.

Passo 5

Agora responder à parte (b): quando C_{k} pode ser decomposta como produto de matrizes elementares?
Primeiro explicar o conceito usado: matrizes elementares são exatamente as matrizes que correspondem a operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, adicionar múltiplo de uma linha a outra). Todas as matrizes elementares são invertíveis (cada operação elementar é reversível). Consequência importante: produto de matrizes elementares é sempre uma matriz invertível. Além disso, um fato fundamental da eliminação de Gauss é que uma matriz A é invertível se, e somente se, ela pode ser transformada na matriz identidade por uma sequência finita de operações elementares; isso é dito formalmente assim: existem matrizes elementares E_{1},\dots,E_{r} tais que
E_{r}\cdots E_{1}A=I,
o que implica
A=E_{1}^{-1}\cdots E_{r}^{-1},
e como inversas de matrizes elementares também são matrizes elementares, concluímos que toda matriz invertível pode ser escrita como produto de matrizes elementares. Reciprocamente, produto de matrizes elementares é invertível. Logo a condição necessária e suficiente é que A seja invertível, isto é, \det(A)\neq0.

Passo 6

Aplicando isso a C_{k}: C_{k} é decomponível em produto de matrizes elementares se, e somente se, \det(C_{k})\neq0. Como \det(C_{k})=k+8, a condição é
k+8\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad k\neq-8.
Para k=-8 a matriz é singular ( \det=0) e não pode ser escrita como produto de matrizes elementares (porque produto de matrizes elementares é sempre invertível).

Resposta

(a) \det(C_{k})=k+8
(b) C_{k} é produto de matrizes elementares se, e somente se, k\neq-8.

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