Calcule os Sequintes limites:
\lim _{n \rightarrow \infty} a^{n}, onde a e^{-}uma constante tal que -1<a<1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{n\to\infty} a^{n},
onde a é uma constante tal que -1<a<1.
As informações relevantes dadas são:
  • a é fixo (não depende de n).
  • A desigualdade -1<a<1 implica |a|<1.
  • Precisamos determinar o valor do limite quando n tende a infinito.

Passo 2

A estratégia geral é estudar o comportamento da sequência a^{n} usando o valor absoluto. Definindo r:=|a| temos 0\le r<1. Uma observação útil é que:
|a^{n}| = |a|^{n} = r^{n}.
Se mostrarmos que r^{n}\to 0 quando n\to\infty, então a^{n}\to 0 também, porque -r^{n}\le a^{n}\le r^{n} e o teorema do confronto garante o limite.

Passo 3

Para mostrar que r^{n}\to 0 para 0\le r<1, podemos usar o seguinte argumento intuitivo: a sequência (r^{n}) é não negativa e monotonicamente decrescente quando 0\le r<1 (cada passo multiplica por r<1, diminuindo ou mantendo), logo tem limite finito L\ge 0. Tomando o limite na relação r^{n+1}=r\cdot r^{n} e passando ao limite obtemos
L = r\cdot L.
Como r<1 isso implica (1-r)L=0, daí L=0. Portanto r^{n}\to 0.

Passo 4

Uma prova mais formal ( \varepsilon- N) para fixar a ideia: seja \varepsilon>0. Queremos N tal que para todo n\ge N valha r^{n}<\varepsilon. Como 0<r<1 podemos tomar o logaritmo (note que \ln r<0). A desigualdade r^{n}<\varepsilon é equivalente a
n\ln r < \ln\varepsilon.
Dividindo por \ln r (negativo) inverte-se a desigualdade, obtendo
n > \frac{\ln\varepsilon}{\ln r}.
O lado direito é um número real fixo; basta escolher
N = \left\lceil \frac{\ln\varepsilon}{\ln r}\right\rceil
para garantir r^{n}<\varepsilon para todo n\ge N. Isso mostra que r^{n}\to 0. Assim |a^{n}|=r^{n}\to 0, logo a^{n}\to 0.

Passo 5

Comentário sobre o sinal de a: se 0\le a<1 a sequência a^{n} é positiva e decrescente até 0. Se -1<a<0 a sequência oscila de sinal (por exemplo a^{n} alterna positivo/negativo), mas o módulo tende a zero, então a oscilação tem amplitude que vai a zero e o limite também é 0. Exemplos numéricos: para a=\tfrac{1}{2} tem-se (\tfrac{1}{2})^{n}\to 0; para a=-\tfrac{1}{2} tem-se (-1)^{n}(\tfrac{1}{2})^{n}\to 0.

Passo 6

Conclusão: para qualquer constante a com -1<a<1 a sequência a^{n} converge para 0 quando n\to\infty.

Resposta

0

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