Calcule os Sequintes limites:
, onde a
uma constante tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é uma constante tal que
.
As informações relevantes dadas são:
As informações relevantes dadas são:
-
é fixo (não depende de ). - A desigualdade
implica . - Precisamos determinar o valor do limite quando
tende a infinito.
Passo 2
A estratégia geral é estudar o comportamento da sequência
usando o valor absoluto. Definindo
temos
. Uma observação útil é que:
Se mostrarmos que
quando
, então
também, porque
e o teorema do confronto garante o limite.
Passo 3
Para mostrar que
para
, podemos usar o seguinte argumento intuitivo: a sequência
é não negativa e monotonicamente decrescente quando
(cada passo multiplica por
, diminuindo ou mantendo), logo tem limite finito
. Tomando o limite na relação
e passando ao limite obtemos
Como
isso implica
, daí
. Portanto
.
Passo 4
Uma prova mais formal (
-
) para fixar a ideia: seja
. Queremos
tal que para todo
valha
. Como
podemos tomar o logaritmo (note que
). A desigualdade
é equivalente a
Dividindo por
(negativo) inverte-se a desigualdade, obtendo
O lado direito é um número real fixo; basta escolher
para garantir
para todo
. Isso mostra que
. Assim
, logo
.
Passo 5
Comentário sobre o sinal de
: se
a sequência
é positiva e decrescente até
. Se
a sequência oscila de sinal (por exemplo
alterna positivo/negativo), mas o módulo tende a zero, então a oscilação tem amplitude que vai a zero e o limite também é
. Exemplos numéricos: para
tem-se
; para
tem-se
.
Passo 6
Conclusão: para qualquer constante
com
a sequência
converge para
quando
.