(a) Resolva usando transformada de Laplace.
(b) Resolva usando o método de variação de parâmetros.
(c) Compare a eficiência dos dois métodos neste caso.
Em t=0 isso vale 2C_{1}+C_{2}. A derivada da parte particular em 0 é 0 (pois tem fator t^{3} depois de derivar). Como C_{1}=0 e y'(0)=1, temos C_{2}=1.
Logo
y(t)=\Bigl(t+\frac{t^{4}}{12}\Bigr)e^{2t},
que coincide com o resultado obtido por Laplace.
Passo 9
(c) Comparação de eficiência — explicando de forma prática e honesta:
Transformada de Laplace:
Vantagens aqui: trata automaticamente as condições iniciais; o cálculo foi curto porque o lado direito é do tipo t^{n}e^{at} e a transformada tem fórmula direta; a álgebra levou rapidamente a Y(s) em potências de (s-2) e a inversa foi imediata com a regra do deslocamento.
Desvantagens em geral: exige familiaridade com tabelas de transformadas e com manipulações em s; para termos não padronizados (funções definidas por partes, convoluções) pode ficar mais verboso.
Variação de parâmetros:
Vantagens aqui: método geral que funciona mesmo quando os coeficientes não são constantes (embora a fórmula exata usada exija cálculo de integrais); no caso presente as integrais ficaram extremamente simples (polinômios), porque o fator exponencial se cancelou no quociente com o Wronskiano, então o método foi também curto.
Desvantagens em geral: pode exigir cálculo de integrais complicadas; precisa conhecer as duas soluções fundamentais explicitamente.
Observação prática: para este problema específico ambos os métodos são eficientes e rápidos. Laplace é muito direto para PVI com forçamento do tipo t^{n}e^{at}; variação de parâmetros foi igualmente simples graças ao cancelamento que gerou integrais polinomiais. Outro método alternativo (método dos coeficientes a determinar) também seria rápido aqui, mas requer atenção ao “caso de ressonância” — como a raiz r=2 é dupla e o forçamento tem e^{2t}, o palpite particular teria que ser multiplicado por t^{2}, levando a um polinômio de grau 4, o que também daria resposta em pouco tempo.
Regra prática para a prova: se a equação tem coeficientes constantes e o lado direito é uma combinação de exponenciais/polinômios/sen/cos, tente primeiro coeficientes a determinar (considerando multiplicidade/resonância) ou Laplace se as condições iniciais forem dadas e quiser evitar resolver para constantes; use variação de parâmetros se o lado direito for estranho ou se os coeficientes forem variáveis.