Considere o PVI:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=t^{2} e^{2 t}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1
(a) Resolva usando transformada de Laplace.
(b) Resolva usando o método de variação de parâmetros.
(c) Compare a eficiência dos dois métodos neste caso.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
y''-4y'+4y=t^{2}e^{2t},\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=1
e pede três coisas:
  • (a) resolver o PVI usando transformada de Laplace;
  • (b) resolver o PVI usando variação de parâmetros;
  • (c) comparar a eficiência dos dois métodos neste caso.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo forçante (lado direito) é t^{2}e^{2t}.
  • Condições iniciais em t=0: y(0)=0 e y'(0)=1.

Passo 2

(a) Vamos usar transformada de Laplace. Primeiro, relembre as fórmulas que usaremos:
  • Definir Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
  • Para derivadas:
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0).
  • Teorema do deslocamento: \mathcal{L}\{t^{n}e^{at}\}=\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}.
Agora apliquei a transformada na equação dada. Substituindo y(0)=0 e y'(0)=1:
\mathcal{L}\{y''\}-4\mathcal{L}\{y'\}+4\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{t^{2}e^{2t}\}.
Usando as fórmulas de derivadas:
\bigl(s^{2}Y(s)-1\bigr)-4\bigl(sY(s)-0\bigr)+4Y(s)=\mathcal{L}\{t^{2}e^{2t}\}.
Agrupando os termos em Y(s):
Y(s)\bigl(s^{2}-4s+4\bigr)-1=\mathcal{L}\{t^{2}e^{2t}\}.
Note que s^{2}-4s+4=(s-2)^{2}. Agora calcule a transformada do lado direito usando o teorema do deslocamento com n=2 e a=2:
\mathcal{L}\{t^{2}e^{2t}\}=\frac{2!}{(s-2)^{3}}=\frac{2}{(s-2)^{3}}.
Logo
Y(s)(s-2)^{2}-1=\frac{2}{(s-2)^{3}}.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{1}{(s-2)^{2}}+\frac{2}{(s-2)^{5}}.

Passo 3

Agora invertendo a transformada. Usamos a fórmula inversa:
\mathcal{L}^{-1}\{(s-a)^{-k}\}=\frac{t^{\,k-1}}{(k-1)!}e^{at}.
Aplicando termo a termo:
  • Para \dfrac{1}{(s-2)^{2}} temos k=2, então
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-2)^{2}}\right\}=\frac{t^{1}}{1!}e^{2t}=t e^{2t}.
  • Para \dfrac{2}{(s-2)^{5}} temos k=5, então
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{(s-2)^{5}}\right\}=2\cdot\frac{t^{4}}{4!}e^{2t}=2\cdot\frac{t^{4}}{24}e^{2t}=\frac{t^{4}}{12}e^{2t}.
Somando os dois resultados, obtemos a solução pela Laplace:
y(t)=\Bigl(t+\frac{t^{4}}{12}\Bigr)e^{2t}.

Passo 4

Cheque rápido das condições iniciais (para ter confiança):
  • y(0)=\bigl(0+0\bigr)e^{0}=0 OK.
  • Para y'(0) podemos diferenciar (ou usar a expressão de Y(s) no infinito). Diferenciando:
y(t)=e^{2t}\Bigl(t+\frac{t^{4}}{12}\Bigr),
y'(t)=2e^{2t}\Bigl(t+\frac{t^{4}}{12}\Bigr)+e^{2t}\Bigl(1+\frac{4t^{3}}{12}\Bigr).
Em t=0: y'(0)=1. OK.

Passo 5

(b) Agora variação de parâmetros. Primeiro, resolvemos a homogênea associada:
y''-4y'+4y=0.
Característica:
r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}=0 \Rightarrow r=2\\ \text{(raiz dupla)}.
Portanto as soluções fundamentais são
y_{1}(t)=e^{2t},\qquad y_{2}(t)=t e^{2t}.

Passo 6

Calcule o Wronskiano W(t) (ele aparece na fórmula de variação de parâmetros):
W(t)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix} = y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'.
Derivadas: y_{1}'=2e^{2t}, y_{2}'=e^{2t}+2te^{2t}=e^{2t}(1+2t).
Logo
W(t)=e^{2t}\cdot e^{2t}(1+2t)-t e^{2t}\cdot 2e^{2t}=e^{4t}(1+2t-2t)=e^{4t}.

Passo 7

A fórmula de variação de parâmetros (para a equação y''+p(t)y'+q(t)y=g(t) com soluções fundamentais y_{1},y_{2}) dá uma particular y_{p} por:
y_{p}=-y_{1}\int\frac{y_{2}g}{W}\,dt + y_{2}\int\frac{y_{1}g}{W}\,dt.
Aqui g(t)=t^{2}e^{2t} (já está na forma RHS). Substituindo y_{1},y_{2},W:
\frac{y_{2}g}{W}=\frac{t e^{2t}\cdot t^{2}e^{2t}}{e^{4t}}=t^{3}, \qquad \frac{y_{1}g}{W}=\frac{e^{2t}\cdot t^{2}e^{2t}}{e^{4t}}=t^{2}.
Integramos:
\int t^{3}\,dt=\frac{t^{4}}{4},\qquad \int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3}.
Portanto
y_{p}=-y_{1}\cdot\frac{t^{4}}{4}+y_{2}\cdot\frac{t^{3}}{3} = -e^{2t}\frac{t^{4}}{4}+t e^{2t}\frac{t^{3}}{3} = e^{2t}\,t^{4}\Bigl(-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\Bigr) = \frac{t^{4}}{12}e^{2t}.

Passo 8

A solução geral é
y(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}t e^{2t}+\frac{t^{4}}{12}e^{2t}.
Use as condições iniciais para achar C_{1},C_{2}.
  • De y(0)=0: C_{1}\cdot1 + C_{2}\cdot0 +0=0 \Rightarrow C_{1}=0.
  • Para y'(t) calcule só o que é necessário em t=0. Derivando a parte homogênea:
\bigl(C_{1}e^{2t}+C_{2}t e^{2t}\bigr)'=2C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{2t}+2C_{2}t e^{2t}.
Em t=0 isso vale 2C_{1}+C_{2}. A derivada da parte particular em 0 é 0 (pois tem fator t^{3} depois de derivar). Como C_{1}=0 e y'(0)=1, temos C_{2}=1.
Logo
y(t)=\Bigl(t+\frac{t^{4}}{12}\Bigr)e^{2t},
que coincide com o resultado obtido por Laplace.

Passo 9

(c) Comparação de eficiência — explicando de forma prática e honesta:
  • Transformada de Laplace:
    • Vantagens aqui: trata automaticamente as condições iniciais; o cálculo foi curto porque o lado direito é do tipo t^{n}e^{at} e a transformada tem fórmula direta; a álgebra levou rapidamente a Y(s) em potências de (s-2) e a inversa foi imediata com a regra do deslocamento.
    • Desvantagens em geral: exige familiaridade com tabelas de transformadas e com manipulações em s; para termos não padronizados (funções definidas por partes, convoluções) pode ficar mais verboso.
  • Variação de parâmetros:
    • Vantagens aqui: método geral que funciona mesmo quando os coeficientes não são constantes (embora a fórmula exata usada exija cálculo de integrais); no caso presente as integrais ficaram extremamente simples (polinômios), porque o fator exponencial se cancelou no quociente com o Wronskiano, então o método foi também curto.
    • Desvantagens em geral: pode exigir cálculo de integrais complicadas; precisa conhecer as duas soluções fundamentais explicitamente.
  • Observação prática: para este problema específico ambos os métodos são eficientes e rápidos. Laplace é muito direto para PVI com forçamento do tipo t^{n}e^{at}; variação de parâmetros foi igualmente simples graças ao cancelamento que gerou integrais polinomiais. Outro método alternativo (método dos coeficientes a determinar) também seria rápido aqui, mas requer atenção ao “caso de ressonância” — como a raiz r=2 é dupla e o forçamento tem e^{2t}, o palpite particular teria que ser multiplicado por t^{2}, levando a um polinômio de grau 4, o que também daria resposta em pouco tempo.
  • Regra prática para a prova: se a equação tem coeficientes constantes e o lado direito é uma combinação de exponenciais/polinômios/sen/cos, tente primeiro coeficientes a determinar (considerando multiplicidade/resonância) ou Laplace se as condições iniciais forem dadas e quiser evitar resolver para constantes; use variação de parâmetros se o lado direito for estranho ou se os coeficientes forem variáveis.

Resposta

\displaystyle y(t)=\Bigl(t+\frac{t^{4}}{12}\Bigr)e^{2t}

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