Avalie a integral usando substituição trigonométrica.
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Passo 1
O enunciado pede para avaliar a integral usando substituição trigonométrica. Dados relevantes:
- Integral a calcular:
. - Foi pedido explicitamente usar substituição trigonométrica.
- Observação importante: a expressão
é real quando . Trabalharei no caso (para a primitiva difere apenas por constantes em possíveis intervalos).
Passo 2
Motivação da substituição trigonométrica: para expressões do tipo
é conveniente usar
. Aqui
, então escolhemos
Explicando por que: com
temos
, o que simplifica a raiz. Além disso, essa escolha transforma racionais com
em funções trigonométricas mais simples.
Passo 3
Calcular as diferentes expressões necessárias para a substituição:
e portanto
Para
escolhemos
de modo que
, então
.
Passo 4
Fazer a substituição na integral. Começando com
Simplificando fatores de
:
Logo a integral em
é
Passo 5
Reescrever em funções mais convenientes. Usando
e
,
Reconhecemos
. Portanto
Passo 6
Integral conhecida: a derivada de
é
. Logo
Passo 7
Voltar para a variável
. Temos
, logo
. Então
Para
obtemos
. Assim
Substituindo em
resulta
Passo 8
Comentário final rápido: a primitiva encontrada é válida para
. Para
a expressão algébrica
também é uma primitiva (ajustando a escolha de sinal da raiz e da constante), então a forma final é a mesma escrita.