Avalie a integral usando substituição trigonométrica.
\int \frac{1}{\left(x^{2}-1\right)^{3 / 2}} d x
-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}+C
-\frac{2 x}{\sqrt{x^{2}-1}}+C
-\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}+C
\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}+C
\frac{2 x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}+C

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral usando substituição trigonométrica. Dados relevantes:
  • Integral a calcular: \displaystyle \int \frac{1}{\left(x^{2}-1\right)^{3/2}}\,dx.
  • Foi pedido explicitamente usar substituição trigonométrica.
  • Observação importante: a expressão \sqrt{x^{2}-1} é real quando |x|>1. Trabalharei no caso x>1 (para |x|>1 a primitiva difere apenas por constantes em possíveis intervalos).

Passo 2

Motivação da substituição trigonométrica: para expressões do tipo \sqrt{x^{2}-a^{2}} é conveniente usar x=a\operatorname{sec}\theta. Aqui a=1, então escolhemos
x=\operatorname{sec}\theta.
Explicando por que: com x=\operatorname{sec}\theta temos x^{2}-1=\operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta, o que simplifica a raiz. Além disso, essa escolha transforma racionais com \sqrt{x^{2}-1} em funções trigonométricas mais simples.

Passo 3

Calcular as diferentes expressões necessárias para a substituição:
dx=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta, \qquad x^{2}-1=\tan^{2}\theta,
e portanto
\left(x^{2}-1\right)^{3/2}=\big(\tan^{2}\theta\big)^{3/2}=|\tan^{3}\theta|.
Para x>1 escolhemos \theta\in\big(0,\tfrac{\pi}{2}\big) de modo que \tan\theta>0, então |\tan^{3}\theta|=\tan^{3}\theta.

Passo 4

Fazer a substituição na integral. Começando com
\int \frac{1}{\left(x^{2}-1\right)^{3/2}}\,dx = \int \frac{1}{\tan^{3}\theta}\cdot\big(\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\big).
Simplificando fatores de \tan\theta:
\frac{1}{\tan^{3}\theta}\cdot\operatorname{sec}\theta\tan\theta = \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}.
Logo a integral em \theta é
\int \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}\,d\theta.

Passo 5

Reescrever em funções mais convenientes. Usando \tan^{2}\theta=\dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta} e \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta},
\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta} = \frac{1/\cos\theta}{\sin^{2}\theta/\cos^{2}\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}.
Reconhecemos \dfrac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}=\cot\theta\csc\theta. Portanto
\int \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}\,d\theta = \int \cot\theta\csc\theta\,d\theta.

Passo 6

Integral conhecida: a derivada de \csc\theta é \dfrac{d}{d\theta}\big(\csc\theta\big)=-\csc\theta\cot\theta. Logo
\int \cot\theta\csc\theta\,d\theta = -\csc\theta + C.

Passo 7

Voltar para a variável x. Temos x=\operatorname{sec}\theta, logo \cos\theta=\dfrac{1}{x}. Então
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{|x|}.
Para x>1 obtemos \sin\theta=\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}. Assim
\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Substituindo em -\csc\theta + C resulta
-\csc\theta + C = -\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} + C.

Passo 8

Comentário final rápido: a primitiva encontrada é válida para x>1. Para x<-1 a expressão algébrica -\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}+C também é uma primitiva (ajustando a escolha de sinal da raiz e da constante), então a forma final é a mesma escrita.

Resposta

-\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}+C

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