Questão 2: Encontre y^{\prime}.
y=\sqrt{\operatorname{sen}(\sqrt{x})}
x e^{y}=y-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar y' em duas equações distintas. As informações dadas são:
  • (i) y=\sqrt{\operatorname{sen}(\sqrt{x})}.
  • (ii) x e^{y}=y-1.
Para cada uma, a única pergunta é: calcular a derivada y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Vamos resolver (i) passo a passo. Primeiro vou reescrever a função de forma que fique claro quais composições existem:
y = \sqrt{\operatorname{sen}(\sqrt{x})} = \big(\operatorname{sen}(\sqrt{x})\big)^{1/2}.
Aqui temos uma composição tripla: x \mapsto \sqrt{x}, depois t\mapsto \operatorname{sen}(t), depois u\mapsto u^{1/2}. Para derivar composições usamos a regra da cadeia: se y=f(g(x)) então
y' = f'(g(x))\cdot g'(x).
Vou aplicar essa ideia em níveis, do externo para o interno.

Passo 3

Defino as funções intermediárias para organizar a conta:
u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2},\qquad v(u)=\operatorname{sen}(u),\qquad w(v)=v^{1/2}.
Então y=w(v(u(x))). Agora calculo as derivadas de cada uma:
  • Derivada de u(x)=x^{1/2}:
u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Derivada de v(u)=\operatorname{sen}(u) em relação a u:
\frac{dv}{du}=\operatorname{cos}(u).
  • Derivada de w(v)=v^{1/2} em relação a v:
\frac{dw}{dv}=\frac{1}{2}v^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{v}}.

Passo 4

Agora aplico a regra da cadeia multiplicando essas derivadas (lembrando de substituir u=\sqrt{x} e v=\operatorname{sen}(\sqrt{x})):
y'=\frac{dw}{dv}\Big|_{v=\operatorname{sen}(\sqrt{x})}\cdot\frac{dv}{du}\Big|_{u=\sqrt{x}}\cdot u'(x).
Substituindo:
y'=\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{sen}(\sqrt{x})}}\cdot\operatorname{cos}(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Simplifico a expressão:
y'=\frac{\operatorname{cos}(\sqrt{x})}{4\sqrt{x}\,\sqrt{\operatorname{sen}(\sqrt{x})}}.
Essa é a derivada de y no caso (i). Observação prática: é importante lembrar que \sqrt{\operatorname{sen}(\sqrt{x})} existe apenas quando \operatorname{sen}(\sqrt{x})\ge 0, mas para a derivada algébrica acima seguimos a regra da cadeia genericamente.

Passo 6

Agora resolvo (ii). A equação é dada implicitamente:
x e^{y}=y-1.
Queremos y'=\dfrac{dy}{dx}. Para funções dadas implicitamente, derivamos ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x (portanto ao derivar termos com y usa-se regra da cadeia).

Passo 7

Derivo os dois lados:
  • Lado esquerdo x e^{y}: é um produto x\cdot e^{y}. Pela regra do produto (uv)'=u'v+uv' e usando \dfrac{d}{dx}e^{y}=e^{y}y', obtemos
\frac{d}{dx}\big(x e^{y}\big)=1\cdot e^{y}+x\cdot e^{y}y' = e^{y}+x e^{y}y'.
  • Lado direito y-1: derivando em relação a x
\frac{d}{dx}(y-1)=y'.

Passo 8

Igualando as derivadas:
e^{y}+x e^{y}y' = y'.
Agora isolo os termos com y'. Levo o y' do lado direito para o esquerdo:
x e^{y}y' - y' = -e^{y}.
Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\big(x e^{y}-1\big) = -e^{y}.

Passo 9

Finalmente resolvo para y' dividindo ambos os lados por (x e^{y}-1) (desde que esse denominador não seja zero):
y' = \frac{-e^{y}}{x e^{y}-1}.
É comum simplificar o sinal multiplicando numerador e denominador por -1, obtendo a forma equivalente
y' = \frac{e^{y}}{1 - x e^{y}}.

Resposta

\displaystyle y'=\frac{\operatorname{cos}(\sqrt{x})}{4\sqrt{x}\,\sqrt{\operatorname{sen}(\sqrt{x})}}
\displaystyle y'=\frac{e^{y}}{1 - x e^{y}}

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