O enunciado pede para encontrar y' em duas equações distintas. As informações dadas são:
(i) y=\sqrt{\operatorname{sen}(\sqrt{x})}.
(ii) x e^{y}=y-1.
Para cada uma, a única pergunta é: calcular a derivada y'=\dfrac{dy}{dx}.
Passo 2
Vamos resolver (i) passo a passo. Primeiro vou reescrever a função de forma que fique claro quais composições existem:
y = \sqrt{\operatorname{sen}(\sqrt{x})} = \big(\operatorname{sen}(\sqrt{x})\big)^{1/2}.
Aqui temos uma composição tripla: x \mapsto \sqrt{x}, depois t\mapsto \operatorname{sen}(t), depois u\mapsto u^{1/2}. Para derivar composições usamos a regra da cadeia: se y=f(g(x)) então
y' = f'(g(x))\cdot g'(x).
Vou aplicar essa ideia em níveis, do externo para o interno.
Passo 3
Defino as funções intermediárias para organizar a conta:
Essa é a derivada de y no caso (i). Observação prática: é importante lembrar que \sqrt{\operatorname{sen}(\sqrt{x})} existe apenas quando \operatorname{sen}(\sqrt{x})\ge 0, mas para a derivada algébrica acima seguimos a regra da cadeia genericamente.
Passo 6
Agora resolvo (ii). A equação é dada implicitamente:
x e^{y}=y-1.
Queremos y'=\dfrac{dy}{dx}. Para funções dadas implicitamente, derivamos ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x (portanto ao derivar termos com y usa-se regra da cadeia).
Passo 7
Derivo os dois lados:
Lado esquerdo x e^{y}: é um produto x\cdot e^{y}. Pela regra do produto (uv)'=u'v+uv' e usando \dfrac{d}{dx}e^{y}=e^{y}y', obtemos